Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
В нелинейном случае частное решение не может быть использовано для построения общего решения при произвольном начальном распределении температуры. Искомое частное решение удается получить только с помощью понятия об автомодельности (самоподобии).
Исследование решения представляет интерес как в связи с общей методикой получения автомодельных решений, так и в связи с особым поведением решения вблизи Т=0.
В линейной теории теплопроводности полностью отсутствует понятие области влияния; температура лишь асимптотически стремится к нулю на бесконечном расстоянии от источника. В нелинейной теории, если в начальном состоянии среды теплопроводность равна нулю (или если теплоемкость бесконечна), то в каждый данный момент тепловое возмущение охватывает только определенный, конечный объем. Мы особо рассмотрим закон изменения температуры вблизи границы области, куда уже распространилось тепловое возмущение, и вблизи границы невозмущенной области.
1. Основное уравнение
Общее уравнение теплопроводности имеет вид
с - - div Xgrad Тш dt
Если теплоемкость постоянна, а теплопроводность налыта 7й, запишем его так:
^ = div аТп grad Т, - =аТп.
dt с
Если теплоемкость тоже переменна, введем новую переменную Т\ однозначно связанную с Г по формуле Т* = ^ cdT,
V
о
dT'=cdT (3)
и выразим k(T) и с(Т) через новую переменную Т': если с~Т*,
41
пропорцио-
.(2)
n -т
k~Tn, то 7'~7'm+1, к~ T'm+1; и получим таким образом уравнение типа (2) для новой переменной Т'. В дальнейшем рассматриваем плоскую и сферически симметричную задачи
(4а)
di дх дх
?L = - JLr*Tn -. (46)
dt г1 dr dr
Соответственно закон сохранения энергии имеет вид
Т dx = Е - const, (5а)
+ 00
.1
-со
г
Trzdr=E = const. (56)
2. Поведение температуры вблизи границы возмущения
Рассмотрим предельный вид решения при Т, близком к нулю. Предположим, что существует граница возмущенной области, которая перемещается в пространстве с определенной скоростью v. Обозначив z¦-расстояние от этой границы, получим вместо (2)
^ = = (6) dt dz dz dz
Легко найдем первый интеграл (константу определяем из условия, что в невозмущенной области 7=0):
- оГ = аГЯ. (7)
dz
и далее
г-(-"if. (8)
Напомним, что в случае постоянной теплопроводности имеет место известное решение вида Т-const e~vz/0 и температура обращается в нуль только экспоненциально, асимптотически при г->-оо; при теплопроводности, растущей с понижением темпера-туры как Т~\ мы получили бы еще более медленное спадание температуры, степенное (как 2"1/v)> а не экспоненциальное.
42
3. Автомодельное решение
Будем искать частные решения (4) и (5) вида Т = АГ*?(&, или |=-, (9)
В(т Bf1
где I-безразмерная переменная, /(?)-безразмерная функция, которая может зависеть от числа измерений пространства и от показателя степени п в законе теплопроводности; [ не должно зависеть ни от t (помимо ?), ни от размерной константы а в законе теплопроводности. Эти условия дают два уравнения: одно, связывающее т и k с п, и другое, связывающее А и В с п. Чтобы получить эти уравнения, подставим (9) в уравнение (4) или (5). Опуская для простоты все безразмерные функции и переменные, заменим дифференцирование делением. Получим
Т~ЛГк, х~ВР, (10)
t X2
aA^^t 1, лпп-э t. лХ-Ы-vn
= I; aAnB-* = U tl 2171 = \'i 2rn + kn^L (11)
Если условия (11) выполнены, получим для / уравнения
kf+n%S-+JLf*$L=Qt (12а)
dl dl
+ + -LjLpr^r =0 (126)
dl |3 dl d$
соответственно в плоском и сферическом случаях.
При данном п (т. е. при данном законе теплопроводности) мы можем получить различные уравнения, а следователыю, и различные решения, произвольно выбирая одну из двух величин m или к, связанных между собою уравнением (11).
Недостающая связь между m и k легко может быть получена из интеграла энергии (5а, б). Подставляя в (5а, б) выражение для температуры (9), получим при учете (11): плоский случай
оо
сферический случай
оо
AfkB4*m<\^ = Е\ ABs = e i 3m = k =
2+3 n (136)
43
Так как (11) устанавливает только одну связь между Л и В,
00
то (133,6) не фиксирует никакого определенного значения J f d?
со ОО 03
или j Обозначая j = = найдем
П
Л=(№Я
3 +п
п
.ШГ Vм-** W.
(Иа)
(146)
Из уравнений (13а, б) легко получить равенства - О
j -0 соответственно для плоского и сферического случаев. Эти равенства выражают условие отсутствия постоянно действующего источника тепла в начале координат в согласии с законом сохранения энергии. (Условие отсутствия объемных источников тепла обеспечивается однородностью исходных уравнений). Чтобы доказать сделанное нами утверждение, умножим (12а) на и (126) на и проинтегрируем их от О до оо. Тогда получим а плоском случае
ос
оо
У-(% + Г - dl d%
СО
It
f
ndl di
co
откуда следует, что при k = m, действительно,
т =о.
I ъ /|=0
В сферическом случае имеем
оо
со
CO
(15a)
00
J> 00
= (ft-3 m)[f?dt+npf + fT
Л I jv
df_
Тогда при 3m=k выполнится поставленное условие /а df \
4. Определение констант в автомодельном решении
Общее решение дифференциальных уравнений (12а, б) содержит в общем случае две произвольные константы. Напишем его в виде
