Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
2. При больших плотностях тока обычно рекомендуется вводить в формулу (7) поправку на силу изображения. Эта поправка вызывает некоторые сомнения. Действительно, задача об автоэлектронной эмиссии сводится к совместному решению урав-
нений Шредиигера и Пуассоиа: ---е)т|з = 0, Дф =
2т
--4яр, где р - плотность заряда. Сила изображения получится, если подставить вместо р выражение еб(г-г') (г'- радиус-вектор заряда). Но эта подстановка противоречит квантовой механике - следует взять ,р=е|^[2. Поэтому задача сводится к совместному решению уравнений Шредингера и Пуассона, а классическая сила изображения в потенциал ф войти не может.
Фактически барьер не является, конечно, прямоугольным. Он как-то скруглен на расстоянии порядка размеров атомного слоя.
* Асимптотическое решение почти такого же вида было найдено Н. Б. Айзенбергом [6].
(5)
{k'Jyfr
(6)
(7)
38
Эффективный прямоугольный барьер подбирается из условия равенства площадей. Поэтому поправка от нелрямоугольности барьера второго порядка малости по величине полной проницаемости [т. е. экспоненты (7)]. Всякая поправка, имеющая реальный смысл, должна быть больше. Однако оказывается, что влияние подбарьерного объемного заряда, по крайней мере в буквенном выражении, удовлетворяет этому требованию, так как содержит дополнительно квадрат логарифма большого числа.
Подробности вычислений по методу самосогласованного поля мы здесь не приводим, приведем только результаты. Обозначим величину показателя экспоненты в (7) через Ж и определим величину
Q я2 m /1
В= -яг*. (8)
я п (2 w)if*
Она имеет порядок 200-300. Далее, введем функцию
(9)
J 1^1-В ^ J + B J J
Тогда проницаемость барьера с учетом объемного заряда равна
^1 = ^(1 + ¦*)¦ (Ю)
Если задать величину равенством
= (11)
то f(B) при большом В приближенно равна - ?2/2.
В рассмотренном примере В=217, ?0=3,11, так что поправка составляет 0,054. Следовательно, чтобы получить ток той же силы, что по формул ¦! (7), надо взять на 5,4% меньшее поле и на 8,1% меньшей х. Соответственно у тоже уменьшится на 2,37, т. е. станет равным 32,63 вместо 35,0. Это дает У=71, или всего на 6,5% больше, чем следует из теории, не учитывающей никаких поправок на объемный заряд.
Литература
1. /. P. Barbour, W. W, Dolan et al. Phys. Rev., 1953, 92, 45.
2. В. Л. Кан. ЖТФ, 1948, 18, 483.
3. P. П. Поплавский. ЖТФ, 1950, 20, 149.
4. Г. А, Бете, А. Зоммерфельд, Электронная теория металлов, М.-Л., ОНТИ, 1938.
5. М. И. Елинсон, Г. Ф. Васильев. Автоэлектронная эмиссия. М., Физматгиз, 1958.
6. Я. Б. Айзенберг. ЖТФ, 1954, 24, 2079.
39
к ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА ПРИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ *
Совместно с Я. Б. Зельдовичем
Введение
Классическая теория распространения тепла в среде с постоянной теплоемкостью и постоянной теплопроводностью может считаться наиболее изученной и даже практически законченной областью математической физики.
В настоящее время на очереди стоят нелинейные задачи распространения тепла. Один класс таких задач возникает, когда в уравнении распространения тепла рассматриваются источники тепла (химическая реакция), мощность которых зависит от температуры. С такими задачами мы встречаемся в теории распространения пламени и в теории звезд,
В обоих случаях наряду с влиянием температуры на скорость выделения тепла имеет место также существенная, как правило, степенная зависимость теплопроводности и теплоемкости от температуры.
До последнего времени в теории горения и в теории звезд решались задачи, <в которых температура зависит только от одной переменной, что позволяет переходить к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Сюда относятся прежде всего стационарные задачи (температура зависит только от координат, но не от времени) и задача о пространственном распространении пламени с постоянной скоростью в системе координат, в которой вещество движется навстречу покоящемуся пламени.
В настоящей заметке мы исследуем решения нелинейного уравнения в частных производных для случая, когда в начальный момент в точке (в бесконечно малом объеме) сосредоточено конечное количество тепла; очевидно, что температура в этом случае зависит и от координат, и от времени. Аналогичное решение можно дать и для точечного источника, в котором тепло выделяется с постоянной скоростью начиная с некоторого момента времени. Поставленную задачу мы решим для инертной среды (без выделения тепла) для степенной зависимости коэффициента теплопроводности и теплоемкости от температуры, полагая начальную температуру среды равной нулю.
В линейном случае, т. е. при постоянной теплопроводности,
* Сборник, посвященный 70-летию академика А. Ф. Иоффе. М., Изд-во АН
СССР, 1950.
40
решением является хорошо известный "интеграл изолированного источника"
га
Т-------Ц- ew. (1)
Это решение может быть, например, получено разложением начального распределения тепла (дельта-функция) в ряд по плоским волнам и их сложением в произвольный момент вре^ меяи. В свою очередь с помощью (I) легко построить решение задачи о распространении произвольного начального распределения температуры в неограниченном пространстве.
