Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
С этим обозначением получим
_ iOO
г- j "-*/•*" (f)^ = ф j t
-:oq
Г (-2s) '\ sds
+ -( 2s) ¦¦ H (.V0, -8)1
г Г (-•/, + S) V 7
CO 00
-20 j *-фКо+3j e^K0 (f) у • (IV)
JC,
Комплексный интеграл от первого слагаемого дополняется ин-тегралом по бесконечному полукругу в левой полуплоскости. Тогда весь интеграл выражается в виде суммы вычетов подынтегрального выражения, расположенных левее мнимой оси. Эти полюсы расположены в точках s~~ 1/2, -3/2, -5/2 и, кроме того, в точке 5=ур-ь9/4. Вычеты в первых двух точках сокращаются с двумя последними интегралами в формуле (IV). Вычеты в точках s = - 5/2, -7/2, -9/2 остаются конечными и при хо=0, поэтому в них можно заменить на 0. Все эти вычеты дают только небольшую добавку к интегралу. Главный вклад
получается от вычета при s=-YVi+P- - (3/a+u) (если тело имеет не слишком малые размеры, то и - малое число). Для
35
2*
л; получается выражение
¦V = - 2лр tg л Ур + % -Г ( п , У&+"/,) +
^ г ^ 1 г (-Vs- /р + 8/l)
" (_)fe (fe + 2)1 _ ---р---------- , 2MJ.\ (V)
^ (2k + 1)1 p + •/, - (2k + t)V4 I 2 j
Величины #(0, - (2?+l)/2) разлагаются в сходящиеся числовые ряды Н(0У -5/2) =2,27? #(0, "7/2) =2,31, остальное выражения такого же рода умножаются на малые коэффициенты.
Величину Н(х0, -Vp + Yi) представим в виде разности двух интегралов:
оо
- /PH-7S)= J Alv<W*)A'o(f)^ -
дг0
-J (VI)
О
Первый интеграл [назовем его F(u)] вычисляется путем разложения М в степенной ряд. Числовые значения F(u) следующие:
и =0,01 0,03 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,75 1,0
F(u)= 10080 1137 107 28,8 13,7 8,2 5,7 3,3 2,2
Во втором интеграле в (VI) надо взять выражения М и K0 при малых д\ Это дает
f*"-iin/llW = ^UinA_JL\
J \ 4 / и \ Yw и )
о
При стремлении и к нулю получаются уже известные нам результаты для неограниченной среды.
Л итер атур а
1. В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. М,-Л., ГТТИ, 1940,
2. Г. И. Ватсон. Теория бесселевых функций М., ИЛ" 1949.
3. Е. Т. Уиттекер, Г. И. йагсок. Курс современного анализа, ч. 2. М-Л, ГТТИ, 1934.
36
ВЛИЯНИЕ ОБЪЕМНОГО ЗАРЯДА НА АВТОЭЛЕКТРОННУЮ ЭМИССИЮ*
(Представлено академиком В, Н. Кондратьевым 18.VI 1959)
I. В настоящее время в опытах по автоэлектронной эмиссий достигаются плотности тока порядка 10т а/сма. При таких плот^ ностях тока поле объемного заряда начинает становиться срав^ нимым с полем, рассчитанным по полной разности потенциалов и геометрии прибора. Иначе говоря, истинное поле на поверх^ пости катода уменьшается, и ток при данной разности потенциалов оказывается меньше, чем это следует из формул, не учиты^ вающих влияния объемного заряда. При плоских электродах влияние объемного заряда было найдено в работе [1]. Полу-ченное там уравнение в безразмерных переменных можно запи^ сать в виде
За2 - 1,33аи3/з + (v-1) =0. (1)
Здесь a=2n(2mdyke'lh v~V{Sd)~iJ где <1>-поле на
катоде, -расстояние между электродами, V - полная разность потенциалов, / - плотность тока. В свою очередь / и $ связаны уравнением автоэлектронной эмиссии. Вычисления удобно производить, задавшись некоторым значением из него находить а и затем уже v. Тогда определится, во сколько раз надо увеличить разность потенциалов между электродами по сравнению с теорией, не принимающей в расчет объемного заряда, чтобы получить данное значение тока.
Фактически геометрия прибора гораздо ближе к сферической, чем к плоской. Точное, решение задачи о сферическом диоде было получено В, JI. Каном [2] и обобщено Р. П. Поплав-ским [3] для того случая, когда поле не равно нулю на яатоде. Мы покажем, что сферичность очень сильно сказывается на величине разности потенциалов, необходимой для получения данного тока.
Решение Кана и Поплавского можно представить в параметг рической форме следующим образом:
- = U ¦/, (у) К -"/, I*)+К V, [у) I -*/. (*)Р; (2)
(У) (*) - ^-у, (У) (*)
f у" (у) К-Ш/Ш (Х) (у)? (х)
* (3)
{$r)'!' = k'Jx. (4)
Здесь Я -радиус анода; г - радиус катода; / = 4яг2/, т. е. полный ток; й'-3wv,(2e)~,/j=2,88* 10 . Из дальнейших вычислений
¦ ДАН СССР, 1959, 128, вып. 6, 1169.
37
следует, что причем х^:20. Поэтому можно перейти к
асимптотическому представлению бесселевых функций *:
Покажем теперь на типичном примере, насколько результаты расчета для сферического диода по уравнениям (4) - (о) отличаются от результатов, получаемых из (I). Удобно исходить из некоторого значения поля & на катоде, которое мы положим равным 108 в/сж = 3,33-105 CGSE. Работа выхода пусть будет равна w-4,6 эв. Плотность тока определяем по известной формуле [4]:
что дает /=1,29*101в CGSE. Полагая r=2|*=2-10_* см, находим ?'/=18,7, откуда из (4) получается х=29,3. Беря R=5 см, определяем из (5) у-- 35. Следовательно, из (6) находим V = = 75,4 CGSE. Без учета объемного заряда получилось бы У=66,7 CGSE, так что объемный заряд увеличивает разность потенциалов на 13%.
Совсем иной результат получается для плоского диода (1)* Если принять d-R, то а = 1,83, а р=2,88. Это соответствует увеличению потенциала почти в 3 раза. Полагая d=r, получим у-1,017, так что по формулам для плоского диода нельзя определить эффективное расстояние между электродами, которое давало бы такое же возрастание потенциала, как при сферической геометрии.
