Учебное пособие по курсу Оптика - Колмаков Ю.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В действительности из-за радиационного затухания свет, испущенный отдельными атомами, имеет вид затухающего цуга:
Е(t)=Eq exip(—?t) cos COftt при t> 0, и E(t)= 0 при t <0,
где co0 - частота колебаний атома.
Представим эту непериодическую функцию в виде интеграла Фурье:
оо slr^i 00
E(t)= J Еае-Ш^, где Ea = \E(f)ei(atdt
-оо -оо
(разложение по монохроматическим волнам). 17
Излучаемая энергия пропорциональна усредненному по времени (~10 колебаний в цуге) квадрату амплитуды:
оо оо оо оо
< Jw >~< ^2CO >~ I E2(t)dt =\Еа[\ E(t)e-iatdt]^-; J ?(0^? - Е_а .
-оо -оо -оо -оо
оо
Но так как функция E(t) вещественна, то
Е*ю = \E*(t)e~i(0tdt = Е_а , т.е.
-оо
00 |2 da)
<Jw>~ \ \Еа I
2п
Величина IisJ da - это доля энергии, уносимая волнами с частотой от а
I |2
до a + da, т.е. величину |Eа\ можно назвать спектральной плотностью энергии в немонохроматической волне (распределение энергии по частотам). Вычислим ее для цуга волн
Em = JX
i(D0t
+ е
-icot \
/
Vat dt=^L 2
? + i(a + a0) ? + i(a-a0)
+
?z+(a + aoy ?z+(a-aoy
Так как затухание колебаний ? ~ — ~ IO8C 1 « (Qceema «IO15C 1, то функция
T
Eca имеет два острых пика вблизи а = ±&>0.
Нас интересует положительная частота a ^a0 в области ? ~ la? - ®0| ~ IO8c-1 «la? + ®0| = IO15c-1, т.е.
Em =
E0 ? + i(a-a0)
2 ?2 +((O-CD0)2
9 E1 F 2 - о
1
4 ?2+(a-a0)2"
График этой функции называется лоренцовским контуром спектральной линии.
Свет, испускаемый электронами,
колеблющимися с частотой а0, называется
квазимонохроматическим - это набор монохроматических волн с частотами а очень близкими к а0 и с амплитудами, резко уменьшающимися по мере смещения частоты
а от частоты со,
О'
Естественную частоту спектральной линии Aa характеризуют на уровне 50% от максимального значения графика (полуширина резонансной кривой).
Тогда ((O-(O0) =
Aa = 2? = -.
T
Ґ Aa^1
E'
?2 +
Ґ А
' Aa ^
IEl 2 A?7
2?2=?2 +
ґ Aa^1
и 18
Полуширина спектральной линии обратно пропорциональна времени релаксации т. Чем больше радиационное затухание (потеря энергии атомами) тем шире и ниже спектральная линия (удаление от монохроматичности света).
Но такой характер излучения был получен для одного атома. А что будет для суммарного излучения множества N атомов, которые начинают излучать случайным образом в разные моменты времени tK:
n
EpaW = TtEit-tk).
к=\
Подставляя разложение в интеграл Фурье, получим
EpeAt)= Pw-^ = S /
„ ZK k=\ ~ LK
n
Тогда E = XX схр(Шк).
к=\
Результирующая спектральная плотность излучаемой энергии усредняется по всем моментам времени:
мом, просто складываются:
Е.
арез
Em ехр (Шк)Е*т схр(—г cot ¦) >=
+ Y\Eco\ cxp(ia(tk -1J)) + X\ЕтI cxp(ia>(tk -1J))
к<) }<к
Сделав замену индексов, приходим к выражению
EpaJi2 = ЩЕаI2 + < cosCDitk -tj)>.
k<j
Второе слагаемое равно нулю, так как моменты излучения отдельных атомов совершенно случайны.
Вывод: энергии или интенсивности, излучаемые каждым отдельным ато-
2 =NK\2-
Спектральная линия, т.е. распределение излучаемых частот для многих атомов, такая же, как для отдельного атома! При этом неважно, накладываются отдельные цуги один на другой или испускаются один за другим, главное, чтобы N »1.
Каждый отдельный атом испускает поляризованный свет.
При произвольном угле в наблюдается эллиптическая поляризация.
При в = 90° - линейная поляризация.
При в = 0° - круговая поляризация. Эта поляризация сохраняется на время длительности
цуга т~ 10_8с.
Если бы приборы измеряли свет мгновенно, то в каждый момент они пока-зывали бы какую-то поляризацию. Но для них время срабатывания IO c (болометры).
-е 19
В разных атомах электроны вращаются в разных плоскостях и последующие цуги, испускаемые другими атомами, имеют другую поляризацию. В сумме получается естественный (неполяризованный) свет.
C©J>
8. Изменение спектральных характеристик света при учете взаимодействия атомов. Уширение спектральных линий
До сих пор рассматривали излучение невзаимодействующих покоящихся (или движущихся с одинаковой скоростью к наблюдателю) атомов.
Рассмотрим излучение газов (газонаполненные лампы, ртутные лампы и
т.д.).
Если плотность газа большая (р ~ 1атм), то атомы сталкиваются друг с другом случайным образом. Среднее время между соударениями
x ^ \
атомов т
уд
10
-19
-I
столки J
Но при соударениях излучение атомов прекращается! Поэтому испущенный цуг имеет вид практически отрезка монохроматической волны:
E(t)= E0cosco0t при —^-<t<+-^-,E(t)= 0 при t>
Для простоты выкладок время начала цуга смещено. Длина цуга ~ ст д ~ 30см.
уд
'уд
+т/2
Разлагая в интеграл Фурье Em= Jis0 cos co0te~
¦icot
-т/2
dco
2 71
получим функцию,
имеющую острый пик вблизи частоты W = CO0:
IeJ2 =ео
sin2(a)-co0)
ZX
0.0472 max
0.0165 max
6Jq - 2 т/т
CJq +2УТ
Эта спектральная линия получалась бы, если бы все атомы излучали отрезки волн одинаковой длины.
