Учебное пособие по курсу Оптика - Колмаков Ю.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Более удобна запись в комплексной форме и = й0 exp (i(cot -Joe + ер)).
Если плоская волна движется в произвольном направлении, то вводят волновой вектор
г* _ и _ In и
Kt — /С — * J
и Я и
направленный вдоль скорости волны. Волновая функция такой плоской волны имеет вид
й = U0 cos (cot -kr + <p) = u0 exp (i(cot — kr + ф)).
Амплитуда плоской бесконечной монохроматической волны не изменяется. Сферическая волна й = U0 cos (cot -kr+ ф)
имеет амплитуду и0 ~ —. На большом
г
удалении сферическая волна превращается в плоскую.
Волны с одной фиксированной частотой со и постоянной амплитудой называются монохроматическими. Для монохроматической волны волновая функция является бесконечной косинусоидой (синусоидой), распространяющейся в пространстве со скоростью и . Такие волны называются бегущими.
В общем случае волна, волновой процесс подчиняется волновому уравнению
A u(r,t) =
1 d2u(r,t)
и- дҐ (Для одномерного уравнения
, где и - фазовая скорость волны.
д2и 1 д2<р
)
дх2 и2 dt2
Легко проверить подстановкой, что его решением будет любая функция
U=U
t±
V и; Фурье с периодом Т:
+оо
U= YjUn ехр
Если эта функция периодическая, то ее можно разложить в ряд
ґ
И=-00
- in СО
Ґ X^ t±-
V
Если функция и Фурье
V VJ ґ X
Т/2
ГДе ип=- 1 u\t±-
-TI2
VJ
ехр
in со
Ґ С
t±-
V
и
JJ
VJ
V
t± V Vj
dco
непериодическая, то раскладывается в интеграл
U(t)= ^uaj exp(-zcot)—, где Ua= ju(t)Gxp(icot)dt. Следовательно, любую волну с произвольной формой колебаний можно представить как суммарное распространение гармонических монохроматических волн с различными частотами Coi, но с одинаковой скоростью й.
Oi0Sin cot -H ^ sin 2 cot
u(x?t)7 \ N V
N \ X
U0Sin cot
Пример: волна имеет вид "пилы' (см. рисунок). Ее можно представить в виде ряда. Сумма двух первых слагаемых этого ряда уже приближается по форме к "пиле".
Вывод: все результаты, полученные для монохроматической гармонической волны, будут справедливы и для волн произвольной формы (сумма решений уравнения также является его решением). Поэтому для простоты в дальнейшем будем рассматривать бесконечные бегущие монохроматические волны.
Такая волна частный случай волн u(r,t) = u0(r)cos(o)t - (p(r)).
Если волновые поверхности постоянной фазы не совпадают с поверхностями постоянной амплитуды, то волна называется неоднородной.
2. Плоская электромагнитная волна
В вакууме уравнения Максвелла имеют вид:
— Qjj ^ QJJ ^ ^
rotE = -//0-, rotH = є0 —, divE = О, divH = 0.
dt dt
А так как rot (rotE) - [v, [v, Ё^ = ~/л0?0 ? и [v,[v,?]|= -AE ,то в результате получим волновое уравнение:
кг д2Ё
^e = Мо?О —Г-
Аналогично из второго уравнения системы Максвелла получим волновое уравнение
Atf = ^0S0
Q2H
HF
Таким образом, в вакууме электромагнитное поле может существовать только в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость волны с
у/M о?о 8
Докажем поперечность плоской электромагнитной волны более простым способом, используя комплексную запись волновой функции: E(г,t) = E0 ехр(i(cot - kr)),
~ SEx дЕ QEz VE = —- + —- + —= -ікЕ. дх ду dz
у,E] =
і
д_ дх
J д_ ду
к д_ dz
-cO уЄ -cOze
= -I
j к
к К
Еу Ez
ИЛИ
[v,Ё\ = -і\к,e\\ V,E = -ікЕ, если E = E0 ехр(і(аЛ - кг)).
Тогда уравнения Максвелла запишутся в виде: - іЁ\= -ji0iooH, - і\к, н\ = є0іа)Е, - ікЕ = 0, - ікН = 0,
или
к,E
= Ji0Co//, [&,//]= -?0о)Ё, кЁ = 0, кН = 0,
Видно, что векторы Ё,Н,к образуют правую тройку и колеблются в фазе.
У ^ E
Отсюда, учитывая, что к = — получим
и
скорость электромагнитной волны 1
и - , =C,
-\l M о?о
и связь амплитуд полей в электромагнитной волне
E^ = H^.
Следовательно, плотности энергии электрического и магнитного полей в электромагнитной волне одинаковы:
Mo H2
S0E'
w.
2 MUCH 2
Различаются все электромагнитные волны только длиной волны (или частотой).
Приведем шкала электромагнитных волн: 9
IO3 IO1 icf 1 (f IO7 IO0 IO9 10ю IOu Hflrf310й Kficf К)17 Kfltf
10 , „19
T
_ 1
ипфрл-^vUультра >к. ^ .-,L- ^ > \Ти\
Kpn CHrje ^ фи J Л Є T. Х L J
і укв к^
раси=- А
r c1 ! 1 г, г; ] ] ['] є
тслсвисопие
хикро bjj;hki
[сп у т: іиксвсе.
излучен
' ту] ul
P С H T Г С і I.
ниє \и:и:учиі]ие Излучений
пидим ык
Г TJ H M л -излучение
pai_/ij3uJiHh[
Все те законы и явления, которые изучает оптика на примере видимого света (400/ш <Л< 780нм), справедливы для электромагнитных волн любого диапазона частот.
Каждое из излучений, показанных на диаграмме, обладает свойствами волны (непрерывность, сплошной волновой фронт) и частицы (корпускулы) или фотона. Чем больше частота излучения, тем заметнее его корпускулярные свойства, и наоборот - чем частота меньше, тем сильнее проявляются волновые свойства.
3. Понятие о поляризации света (линейная, круговая, эллиптическая поляризация)
Бегущая электромагнитная волна характеризуется еще и ориентацией плоскости колебаний вектора E или H. Если эта плоскость для разных волн, испущенных разными атомами, ориентирована беспорядочно, то излучение (свет) называют естественным. Если существует какая-то упорядоченность колебаний E (H), то излучение называют поляризованным.
