Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
t = to - kl, (8.1)
208
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
где to — пропускание неэкспонированной (но проявленной) пластинки; к — постоянная, а / - интенсивность интерференционной картины. Согласно (1.15), интенсивность описывается выражением
/ = аа* + it* + аг* + a*r = = аа* + г2 + аг ехр (-2лЦгх) + а*г ехр (2ni\Tx). (8.2)
—> z
•пластинка
пучон
ФИГ. 8.1. Простая схема получения голограммы
с внеосевым опорным пучком.
Если на стадии восстановления голограмма освещается исходной опорной волной, для комплексной амплитуды поля сразу за голограммой имеем
w (х, у) = rt = tQr ехр (2nilrx) — к [aa*r ехр (2nilrx) +
+ г3 ехр (2nilrx) + аг2 + a*r2 ехр (4nilrx)]. (8.3)
1. Разделение дифрагированных волн
В гл. 1, § 8, мы без доказательства утверждали, что при соответствующем направлении опорной волны можно отделить нужную восстановленную волну от остальных, дифрагированных голограммой. На фиг. 2.10 геометрически показано, что для этого необходимо иметь достаточно большой средний угол между предметным и опорным пучками. Чтобы связать условие углового разделения дифрагированных волн с максимальной пространственной частотой пропускания предмета, проведем пространственно-частотный анализ выражения (8.3) [8.1]. Пусть голографируемый транспарант имеет пропускание s (ж, у) и спектр S (|, т]), где
§ 1. ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ С НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ ПУЧКОМ 209
s (х, у) ZD S (?, г)). Протяженность спектра S (5, rj) лежит в пределах ОТ —Імакс ДО +!макс И ОТ — Г)макс ДО +т]макс< ВоЗМОЖНОЄ
спектральное распределение | S (|, rj) | в плоскости ?rj приведено на фиг. 8.2. При освещении транспаранта распространяющейся вдоль оси z плоской волной комплексная амплитуда предметной
Is(Ct7)
^манс
ФИГ. 8.2. Спектр транспаранта.
волны, падающей на голограмму, равна а (х, у). Соответствующий этой функции спектр определяется выражением (5.26):
A?, TO = O1S(S, г))еХр[-^(1-^2-ЭД1/2]. (8.4)
где O1 — постоянная амплитуда плоской волны, падающей на транспарант, а й — расстояние между транспарантом и голограммой. Заметим, что максимальная протяженность, или ширина, спектра А (5, т)) в плоскости пространственных частот определяется интервалом, в котором функция S (|, rj) не равна нулю. Выражение (8.3) содержит не только а (х, у), но и комплексно-сопряженную ей величину а* (х, у) со спектром
А'(Е, Ti) = A* (-5, -Л) =
= aiS* (- 6, - Л) ехр [ + і 2*? (1 - Я2?2 - X2T12)]172. (8.5)
Здесь было использовано соотношение (4.26). Теперь с помощью (8.4) и (8.5) найдем абсолютное значение спектра функции w (х, у), определяемой выражением (8.3).
14—0990
210
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
Первый член в правой части (8.3), t0r ехр (2т\тх), описывает недифрагированный свет, распространяющийся в направлении падающей волны. Для обычных амплитудных голограмм (с низкой эффективностью) эта компонента, как правило, очень велика. Согласно соотношению (4.30), ее спектр представляет собой 6-
-kr2A*[-(? + 2?r),-77]|
|rt0S(C + Cr) -kr3 8(? + ?r)
ФИГ. 8.3.
Пространственный спектр излучения, вышедшего из голограммы, зарегистрированной с наклонным опорным пучком.
функцию в точке с координатами (—?г, 0). Соответствующее преобразование мы можем описать соотношением
t0r ехр (2ni\Tx) ZD t0r8 (I + Ir) (8.6)
и для наглядности изобразить спектр большой вертикальной стрелкой на фиг. 8.3.
Второй член в (8.3) (первый в скобках), — &aa*r ехр (2ni%rx), преобразуется в частотном пространстве, согласно (4.18) и (4.21), в смещенную функцию автокорреляции спектра A (J-, г\). Прежде всего нас интересует максимальная протяженность функции автокорреляции в плоскости пространственных частот; эта величина является главным фактором, определяющим пространственную частоту, соответствующую наклону опорной волны. Для ее нахождения напомним, что интеграл корреляции, подобно интегралу свертки, представляет собой сканирование одной функции с помощью другой (фиг. 4.4). Интервал значений переменных, в котором интеграл не равен нулю, определяется суммой ширин
§ 1. ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ G НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ ПУЧКОМ 211
обеих функций; в случае автокорреляции максимальная протяженность результирующей функции в два раза больше ширины функции, подвергаемой операции автокорреляции. Опуская постоянные множители, получаем фурье-образ второго члена из (8.3):
аа* ехр (Inilrx) =э А* (?, т|) ? А (? + ?г, г)) =
= [S* (?, г,) ехр [i ^ (1-??2- A2T]2)172] *
? [S(6 + gr, Л)ехр (-^(1-Я2(^+^2-Я2т]2)г/2)]. (8.7)
Как указывалось ранее, ширина спектра А (?, rj) определяется его амплитудным распределением и, следовательно, шириной спектра S (?, т]). Таким образом, функция автокорреляции (8.7) в два раза шире функции S (?, и): ее ширина составляет
2 [?макс — ( — ?макс)] = 4?макс ПО ОСИ I И 4т]макс ПО ОСИ Г). Ее центр (—?г, 0) соответствует центру функции S (? + ?г, Г]) [см. (4.12)] и совпадает с пространственной частотой, соответствующей наклону освещающего пучка. Симметричное размытие дифрагированного света вокруг направления освещающего голограмму пучка иногда называют интермодуляцией, имея в виду, что оно обусловлено модуляцией света от одного участка предмета светом от другого.
