Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь транспарант, пропускание которого уже не равно единице и в полярных координатах описывается функцией t (г, Э). Интеграл Фурье в (6.23), описывающий результат оптического преобразования Фурье, которое осуществляет система, изображенная на фиг. 6.2, теперь имеет вид
If = JF [t(г, 6)rect (-?-)] = T(v, Ф)*[™2^|^-] , (6.66)
где t (г, 0) ZD T (v, ф). Как указывалось в гл. 4, § 3, свертка двух функций представляет собой результат сканирования одной функции с помощью другой. Функцию T (v, ф), являющуюся фурье-образом пропускания t (г, Э), сформированным бесконечно большой линзой, можно рассматривать как совокупность идеальных точек или б-функций. При свертке каждой б-функции с функцией пятна пс2 [j1 (2nvc)/nvc], имеющего ширину А = 0,61 kf/c, б-функция уширяется до значения А.
2. Влияние конечных размеров линзы на выбор системы, формирующей изображение или фурье-образ
Рассмотрим сначала, как сказывается конечность размеров линзы на формировании изображения. Для получения качественного изображения необходимо, чтобы линза собирала всю световую
ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ЛИНЗЫ
151
волну, переносящую информацию о предмете. Заведомо плохая в этом отношении система изображена на фиг. 6.8. Плоская волна падает на предмет, которым является транспарант с пропусканием t IZi)- Будем рассматривать распространение волны в плоскости yz. Можно мысленно представить, что входное пропускание t разложено на фурье-компоненты, описывающие пропускание синусоидальных решеток. Пусть одна из них имеет пространственную частоту т]. Наша система подобна системе, изображенной на фиг. 5.3, за исключением того, что здесь поперечное сечение
ФИГ. 6.8. Система, формирующая изображение
при освещении плоской волной.
падающего на решетку пучка света ограничивается протяженностью транспаранта t (X11 ^1). Если плоская волна падает на решетку неограниченных размеров, то, как указывалось в гл. 5, § 3, дифрагировавшие волны будут плоскими, и их комплексные амплитуды справа от транспаранта t (X1, ^1) непосредственно вблизи него будут описываться выражением (5.19):
1 1
a (zi, Уi) = aih + ~2 аЛ ехР (2^1Wi) + "2"а^ ехР (~~ 2пігІУі)» (6-67)
а углы дифракции определяться формулой
G2 = ± aresin Kr].
Если пренебречь дифракцией на краях транспаранта, то можно считать, что любой малый пучок лучей, падающий на произвольно выбранный малый участок решетки, дифрагирует под углом G2-Рассмотрим сначала пучок лучей, осью которого является ось z (фиг. 6.8). Максимальный угол, под которым дифрагируют лучи, еще попадающие на линзу с радиусом г2, определяется отношением T2Id2 = tg Q2. Для простоты положим T2Id2 = tg Q2 « sin G2. Тог-
152
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ CO СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6.
да для центральных лучей получим, что максимальная пространственная частота г)макс входной решетки, которую линза может преобразовать в изображение, определяется условием
8ІпЄ2 = Ятімакс<-^- ,
т. е. не превосходит величины
W<-gr. (6.68)
Предположим теперь, что транспарант t имеет форму круга радиусом г1? и рассмотрим пучок лучей, падающих на область, расположенную в непосредственной близости от края круга у{ = г{. Чтобы на линзу попадали все лучи, идущие от этой области транспаранта, угол дифракции % не должен превышать величины (г2 — T1)Id2, т. е.
tg е; ж sin е;=Я/піано < Г2^Г1 ,
или
%акс<^^. (6.69)
Таким образом, максимальная пространственная частота предмета, преобразуемая в изображение, является линейной убывающей функцией его радиуса. Если пространственные частоты не удовлетворяют условию (6.69), то происходит потеря информации.
Прежде чем рассматривать оптическую систему, более полно передающую информацию о предмете, воспользуемся проведенным выше анализом системы на фиг. 6.8, чтобы выявить преимущество осуществляющей преобразование Фурье оптической системы, изображенной на фиг. 6.2 (или 6.4) по сравнению с системой, показанной на фиг. 6.6. Если на фиг. 6.8 расстояние d3 равно фокусному расстоянию линзы, то мы получим выполняющую преобразование Фурье оптическую систему, которая при неограниченных размерах линзы будет формировать фурье-образ T (?, и) в плоскости х3у3 независимо от величины d2. [От величины d2 зависит фазовый множитель сферической волны из (6.59), который мы здесь не учитываем.] Однако в действительности линза имеет конечный радиус т2, и из (6.68) и (6.69) видно, что максимальная пространственная частота света, попадающего на линзу, обратно пропорциональна расстоянию d2 между линзой и транспарантом t (#i, У і)- Если же d2 = О (как на фиг. 6.2 или 6.4), то линза преобразует все пространственные частоты предмета, и в задней фокальной плоскости формируется полный спектр функции t {^1, у\). В этом отношении подобная система обладает преимуществом перед показанной на фиг. 6.6 системой, где d2 = /.
ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ЛИНЗЫ
153
Система, формирующая изображение и сохраняющая наиболее полно переносимую светом информацию о предмете, изображена на фиг. 6.9. Соприкасающаяся с предметом-транспарантом t (X1, у ^ первая линза L1 формирует сферический волновой фронт, который фокусируется в расположенный на оси центр второй линзы L2. Поскольку линза L2 находится в задней фокальной плоскости первой линзы, на поверхности линзы L2 формируется фурье-образ, или спектр, функции t (X1, U1). В свою очередь линза L2 преобразует этот фурье-образ в изображение транспаранта, возникающее*
