Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Интеграл по плоскости P1 в (6.56) имеет вид фурье-образа, если ^-функция, стоящая под знаком интеграла, равна единице. Последнее имеет место при условии
Положим, что транспарант t (хи ух) освещается плоской волной, так что Di = Hd1 = 0 и dx = 00. Тогда
D3 = F или d3 = f (6.58)
и (6.56) принимает вид
а(*з, ^3)=-^-^(^8, Уз; F--) X
X j j t(a?i, г/і)ехр [-^^(^з + г/іг/з)] dx^dy^. (6.59) Pi
Таким образом, когда на помещенный перед линзой транспарант t fe, г/і) падает плоская волна, в задней фокальной плоскости линзы, если не учитывать фазовый множитель сферической волны, возникает распределение комплексных амплитуд, которое имеет вид фурье-образа функции t Or1, у і). Это справедливо независимо» от расстояния d2 между линзой и транспарантом. Фазовый множитель сферической волны можно сделать равным единице, положив
D2 = F, (6.60)
т. е. поместив транспарант в переднюю фокальную плоскость линзы. Такая система, применяемая на практике для получения фурье-образа входного транспаранта, изображена на фиг. 6.6« С учетом (6.60) выражение (6.59) принимает вид
а(я8, Уз) = j j t(*i, Уі)^1^{хіІ + УіГ\)]ахіауі, (6.61) Pi
где
являются координатами в плоскости пространственных частот.
10*
148
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ CO СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6.
/ 4 У і Уз I Ute
^tU1,у,) у -- f -» J f -- 1
ФИГ. 6.6. Другая оптическая система, выполняю-
щая точное преобразование Фурье. Фокусное расстояние линзы равно /.
Следует заметить, что если !¦ и и взяты положительными, то знак показателя экспоненты под интегралом в (6.61) соответствует
ФИГ. 6.7. Ориентация координатных осей в пло-
скостях, в которых формируются фурье-образы.
преобразованию пространственного распределения в частотное, но не наоборот. При положительных | и г] показатель экспоненты имеет знак плюс во всех формулах аналогичных преобразований, осуществляемых оптическими системами, подобными изображен-
ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ЛИНЗЫ
149
ной на фиг. 6.6. Чтобы привести оптические преобразования в соответствие с определениями (4.1) и (4.2), координаты в задней фокальной плоскости линзы, где формируется пространственное распределение, должны иметь знаки, обратные знакам координат в передней фокальной плоскости, являющейся плоскостью пространственных частот. Если же пространственное распределение образовано в передней фокальной плоскости, то координаты в задней плоскости берутся с теми же знаками, что и в передней. Иллюстрация этого правила дана на фиг. 6.7.
Если входной транспарант t (X1, Ij1) освещен сферической волной (D1 Ф 0), то из (6.56) легко видеть, что плоскость, в которой формируется фурье-образ, не совпадает с задней фокальной плоскостью линзы [D3 определяется из соотношения (6.57)]. Кроме того, поскольку теперь D3 и F не равны друг другу, масштабный множитель преобразования Фурье
D2D3 X(D2-F+ D3)
будет функцией D 2- Это позволяет создавать системы, выполняющие преобразование Фурье с переменным масштабным множителем [6.2].
§ 4. Влияние конечных размеров линзы
1. Влияние на спектр пространственных частот
Для анализа оптического преобразования Фурье в § 2 было принято допущение о бесконечном радиусе линзы. Это позволило описывать пропускание линзы чисто фазовым множителем с бесконечными пределами. Теперь положим, что линза имеет конечный радиус с, и рассмотрим снова интеграл Фурье в (6.24) для случая t (хи г/і) = 1:
OO
I1 = j j ехр [і2п (хіі + УіЦ)] dxi dyt.
— OO
Если I1 выразить через цилиндрические координаты как в координатной, так и в частотной области, а интегрирование проводить в пределах радиуса линзы с, то для I1 получаем
/,.,[-.?]-«?* «и»)
(см. гл. 4, §|2), где обозначает преобразование Фурье. Функция [Z1 (2nvc)]/nvc имеет максимальное значение, равное единице, при v = 0, следовательно, максимум функции I1 лежит на оси и его значение равно тсс2. На фиг. 4.7 построены функция I1 и ее фурье-образ rect (г/2с). Таким образом, если линза с бесконечными
150
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
размерами фокусирует плоскую волну в математическую точку [б-функция в (6.25)], то линза с конечным радиусом с преобразует падающую на нее часть плоской волны в пятно конечной ширины. За размер пятна обычно принимают половину расстояния между нулями функции Бесселя, что соответствует интервалу в области пространственных частот, равному v0 = 0,61/с мм"1. Пользуясь соотношением
V = (Г + n2)1/2 = 4г (4+уі)1'* = + , (6.64)
вытекающим из (6.21) и (6.22), можно перейти от ширины полосы в частотной области к расстоянию в координатной области; в результате для ширины (диаметра) пятна в плоскости х2у2 находим
Д = 0,61-^-. (6.65)
Ширину А в (6.65) можно считать мерой степени неопределенности, с которой точка плоскости х2у2 пространственных частот соответствует пространственной частоте аксиальной плоской волны, падающей на линзу конечного радиуса с. Эта неопределенность является следствием того, что линза конечных размеров собирает лишь часть пространственной информации, которую несет световая волна.
