Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
а* (хи У і) = 'Ф Cr1, у и D1) t (хи Уі). (6.38)
Свертка а^ и (ID2IX) if Or, у; D2) дает распределение амплитуд на левой поверхности линзы
Zi(X2, у2) = ^- SLt(Xu Уі) ^ (X2-X1, у2 — Уи D2)dx1dyu (6.39) _ рі
х) Заметим, что в работах Вандер Люгта использованы прописные буквы F ж D для величин, обозначенных у нас строчными буквами/ и d, и наоборот. Кроме того, Вандер Люгт применяет противоположный нашему знак зависимости фазы от времени. Выбор знака обсуждался в гл. 3, § 1, и в гл. 5, § 2.
144
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ CO СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
а умножение на функцию ij)* (х2, у2\ F), описывающую пропускание линзы, дает распределение комплексных амплитуд на правой поверхности
Наконец, вычисляя свертку аг с функцией (iD3/X) л|) (х, у; D3), получаем комплексную амплитуду а (х3, у3) в плоскости ху на расстоянии d3 от линзы:
а (х3, у3) = J J аг (? У2) 'Ф {X3-X2, У3 — У2', D3) dx2dy2. (6.41)
Выражение (6.41) можно привести к более удобному виду, если 1) представить г|)-функции, входящие в (6.39) и (6.41), в виде множителей, зависящих от координат только одной плоскости [используя (6.36)]; 2) подставить (6.39) и (6.40) в (6.41); 3) сгруппировать мноячители, зависящие от координат х, у одной плоскости [воспользовавшись равенствами (6.31) — (6.34)]. В результате получим
В первую очередь покажем, что выходная функция а (х3, у3) в (6.42) имеет такой же вид, как и входная функция t (X1, у ^), а потому является ее изображением (если формирование изображения рассматривается в приближении геометрической оптики). Последнее условие, записанное через параметры оптической системы, показанной на фиг. 6.5, имеет вид
или, используя обозначения, введенные в этой главе.
аг (хо, у2) = а/ (х2, у2) (х2, у2; F).
(6.40)
а
2. Условие формирования изображения
D2+D3 = F.
(6.44)
Подставляя (6.44) во второй г|)-множитель, стоящий под знаком интеграла в (6.42), получаем, что г|) (х2, у2; D2 — F + D3) = 1,
ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА
145
и для интеграла по плоскости P2 находим
j j 1. ехр J [х2 (D2X1 + D3X3) + у2 (D2Ij1 + D3y3)] } dx2 dy2 =
P2
= 8^ Dzxi + D3x3 РїУі + РгУг \ (6 45)
Здесь мы применили соотношение (4.30) при с = 0. Записывая б-функцию следующим образом:
8[4М*.+!Н.^-+!г")]-
и используя свойство (4.13г) для случая двумерной б-функции, т. е. б (ах, by) = (1/ I ab \) 8 (х, у), получаем
o(D^+D^ , ^ + ^3)=^6(^ + 1^3, Vi + %V). (6.46)
Подстановка в (6.42) найденных выше соотношений дает а(я3, Уз) = —^-^ (х3, у3, D3) j j ^ (X1, у и D1 + D2) t (X1, у\) х
х 6 [Xi +"57 ^3' Уі +157 ^3) dXi dy± =
= —й-* h'Уз] Ds+(ж)2 {Di+щ]x
Здесь мы учли, что свертка любой функции с б-функцией равна исходной функции [см. (4.13д)], а чтобы придать соотношению более компактный вид, использовали (6.32) — (6.35). В (6.47) г|)-функция является фазовым множителем сферической волны, который при получении изображения, как правило, играет незначительную роль. В большинстве случаев в качестве изображения регистрируется распределение интенсивностей аа*, так что фазовый множитель выпадает (фф* = 1). При таких условиях на формирование изображения не влияет кривизна D1 волнового фронта. В (6.47) остается распределение амплитудного пропускания, т. е.
»(-?-**-?-*)' (6-48)
которое является перевернутым увеличенным изображением исходного распределения t (X1, ^1); увеличение равно
M = -^L=--JL. (6.49)
D3 d2 4 '
10-0990
146
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ CO СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
3. Условие формирования фурье-образа
Возвращаясь к (6.42), определим условия, при которых выходное распределение комплексных амплитуд а (х3, у3) в плоскости х3у3 является фурье-образом входного пропускания t (X1, у\). Поскольку искомое преобразование Фурье должно связывать комплексные амплитуды в плоскостях X1Ij1 и х3у3, то из (6.42) необходимо исключить члены, зависящие от координат х2, у2 плоскости P2. Для наглядности запишем (6.42) в виде
a (х8, Уз) = ( —^jj1) У Уз', D3) X Pi
где
І2= J J * (? »а; D2-F + D3) ехр [i2n [х2 (^1 + ^3) +
+ y,[D^\D^)]}dx2dy2= (6.51)
= \ j 4>(x2i Уъ\ D2 - F + D3) ех-р {і2п (х21+ у2\])} dx2dy2 (6.52)
и
^_ D2X1+D3X3 ^ __ ^2^/1 + ^3^/3 (6 53)
Переменные ?2 и 1/2 можно исключить, если вычислить интеграл Фурье (6.52). Функция ty(x2, у2\ D2 — F + D3) является двумерной функцией Гаусса и ее фурье-образ I2 (X1, X3), определяемый соотношением (4.27), с учетом свойств ^-функций приводится к виду
Применяя (6.36) и (6.35), получаем окончательный результат для I2:
, к * / Dl \ * / D|_\
= ,(0,-^ +Z)3) ^ Г1' ,D2-F + D3 ) * Г3' D2-F + D3 ) Х
X ЄХР {/TT ( D2-2Z+D3) + ™«>} • ^6-55)
Подставляя I2 в (6.50) и группируя с помощью (6.34) -ф-функции, зависящие от координат одной плоскости, получаем следующее выражение для распределения комплексных амплитуд в плоско-
ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА
147
сти, находящейся на расстоянии d3 от линзы: а(*3, Уз) = і{012°!р3+[)з) * (?. 2/з; Aj- D2__F3+D3 ) X
X J j «?{^, уи D,+D2- } t(^, г/0 X
X
exp {^[^(D^f + Ds)] (^з + г/іг/з)} ^1 ^1. (6.56)
