Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ HA МАШИНЕ ГЛ. 19.
функции а (х). Очевидно, математическим представлением операции отсчета является умножение непрерывной функции а (х)
OO
на функцию 2 S (х — тАх). Выразим последнюю функцию
т=—оо
Амплитуда
ФИГ. 19.2. Непрерывная функция а (х) и функция
отсчетов as (#), состоящая из матрицы б-функций.
через гребенчатую функцию вида (19.3), положив с = 1/Ах. Тогда
OO
S 6(*-тЛЖ) = ^-сотЬ(^).
т=—оо
Отсчетная функция as (х) может быть записана либо в виде
as (х) = а (х) comb (-^-) . (19.5а)
либо в виде
OO
as (х) = а (х) 2 o (# — гпАх) =
т=—оо
OO
= S а(тЛж)8(ж-тЛа;) (19.56)
т=—оо
Каждый отсчет функции а (х) в формуле (19.56) представляет собой б-функцию, сила которой определяется величиной а (х) в точке, соответствующей данной б-функции. На фиг. 19.2 б-функции показаны в виде стрелок, длины которых пропорциональны их силам.
ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ
617
Для синтеза голограмм на вычислительной машине необходимо произвести вычисление фурье-образа As (S) отсчетной пространственной функции as (х). Покажем, что если отсчеты были взяты с соблюдением требований теоремы отсчетов, то точный фурье-образ A (S) непрерывной функции а (х) может быть получен из A8 (S). Обратное преобразование в этом случае восстанавливает функцию а (х). При преобразовании выражения (19.5а) произведение а (х) на (1/Ax) comb (х/Ax) в пространстве координат переходит в свертку их фурье-образов А (|) и comb (AxIi3) в пространстве частот [см. теорему о свертке (4.11)], так что
схэ
A8 (?) = А (I) *сошЬ (AxI) = A(I) *[-L 2 «(5—<19'6>
TfI= — оо
Здесь было использовано соотношение (19.4) и вместо х в (19.3) подставлена величина ?. Учитывая определение операции свертки [см. (4.11)] и используя свойства симметрии б-функций [см. (4.136)] и ее фильтрующее свойство (4.13д), получаем
OO OO
Ml)=™ S J А(»)в(б-?-»)*.=
m= — оо и=—оо
4 2 J A(u)o + Л.=
m= — оо и=—оо m=—оо
На фиг. 19.3 показан фурье-образ A8 (S) как регулярная последовательность сдвинутых фурье-образов (I/Ax) A (S — т/Ах), каждый из которых пропорционален фурье-образу исходной непрерывной функции а (х) и отделен от соседних образов интервалом S = 1/Ах. Предположим, что исходная функция а (х) имеет ограниченный спектр частот, так что значения A (S) отличны от нуля только в области — SMaKC/2 ^ S ^ SiNiaKc/2. Перекрытия сдвинутых образов (I/Ax) A (S — т/Ах) не происходит, если
1 1 -TTr>SMaKo или Ax^Cj-. (19.8)
/лх ьмакс
Неравенство (19.8) определяет интервалы отсчетов, удовлетворяющие условию теоремы отсчетов. Из фиг. 19.3 видно, что, когда соблюдается неравенство (19.8), фурье-образ A (S) может быть
618
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ HA МАШИНЕ ГЛ. 19.
восстановлен по фурье-образу A8 (?) отсчетной функции посредством простого умножения A8 (?) на прямоугольную функцию вида Ax rect (?/?Макс)- Таким образом,
A (I) = A8 (I) Ax rect I1T^—) . (19.9)
Если неравенство (19.8) не соблюдается, сдвинутые фурье-образы (1/Ax) A (I — mlAx) перекрываются и восстановление А (?) становится невозможным. Умножение A8 (?) на прямоугольную функцию в этом случае дает функцию, отличающуюся от А (?). Возникающая погрешность носит название «переименования» (англ. aliasing).
ФИГ. 19.3.
Фурье-образ As (?) функции отсчетов, состоящий из бесконечного ряда функций, пропорциональных исходному фурье-образу А (?) и расположенных на расстоянии 1/Ах.
Умножение As (!) на прямоугольную функцию Ax rect (?/?макс) дает фурье-образ А(?) исходной функции.
Получив значение А (?) из дискретных отсчетов функции а (х), перейдем теперь к построению обратного фурье-образа А (|) и, следовательно, к восстановлению исходной пространственной функции а (х). Обратное фурье-преобразование произведения A8 (I) на Ax rect (?/?Макс) в соотношении (19.9) эквивалентно операции свертьи в пространстве обратных фурье-образов этих функций. Из соотношения (4.31) для обратного фурье-образа прямоугольной функции получаем
Afreet (yi-) cz AxlMaKC """Емакс*. (19Л0)
V ьмакс / ^ьмакс х
ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ
619
Следовательно, учитывая (19.56) и фильтрующее свойство (4.13д), можно написать
а (х) = JF-1 [A (E)] = а8(х) * Гд*5макс si°"Uf 1 =
оо
= [ 2 a(mAx)8^-mAx)]*[AxlMSLKC^^^-] =
т=—оо
OO
= А,|макс 2 «(^)8-??^^. (19.11)
т= — оо
Если выбран максимально допустимый интервал отсчетов =
Q(X)
X
?макс
ФИГ. 19.4.
Восстановление исходной функции а(я) по отсчетной функции as (х) в пространственной области.
=• 1/^макс? то выражение (19.11) упрощается, и мы получаем следующее весьма полезное выражение:
OO
a(*)= ^ a(_u^\ Sin (яЕмаис(19Л2)
/ ^макс^ —^
771= —оо
На фиг. 19.4 представлено восстановление функции а (х) с помощью суммы функций вида (sin z)lz. Показаны только два члена суммы (19.12). Следует отметить, что выражение
sin (я^макс х — пт) ломаке х — пт
620
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ HA МАШИНЕ ГЛ. 19.
принимает значение, равное единице для т-то отсчета, х = = ^/Імако и равно нулю для всех других позиций. Если учесть все члены суммы (19.12), считая как положительный центральный максимум, так и положительные и отрицательные боковые максимумы, то можно точно восстановить непрерывную функцию а (х). Чтобы распространить теорему отсчетов на двумерное пространство, гребенчатую функцию comb (х) в (19.5а) следует заменить двумерной матрицей б-функций.
