Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем перейти к математическому анализу, кратко опишем метод. Предположим, что объект, освещенный лазерным светом, может быть адекватно описан ограниченным ансамблем точек, рассеивающих свет. Если ввести в вычислительную машину координаты этих точек вместе с параметрами, характеризующими длину волны и направление распространения освещающей объект и опорной волн, то можно рассчитать распределение амплитудного пропускания в образующейся голограмме. Эта информация может быть записана в памяти вычислительной машины и отображена на выходном устройстве — графопостроителе или электроннолучевой трубке, что дает увеличенное изображение голограммы. Увеличение необходимо из-за недостаточного разрешения печатных и отображающих устройств. Эта запись далее уменьшается оптическим методом до размеров, соответствующих длине волны, использованной при расчете, и регистрируется фотографическим методом в виде транспаранта. Когда полученную таким образом голограмму освещают лазерным пучком, восстанавливается изображение объекта. Очевидно, что можно рассчитать голограммы объектов, реально не существующих, поскольку требуется только математическое представление об объекте.
Машинные методы, которые будут рассмотрены, синтезируют фурье-голограммы [19.1, 19.2]. Для этого вычислительная машина должна рассчитать весьма большое количество отсчетов двумерного фурье-образа объекта. Каждый отсчет состоит из значения амплитуды и фазы фурье-образа в определенной точке. Количество
614
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ HA МАШИНЕ ГЛ. 19.
отсчетов ограничивается машинным временем и его стоимостью. Как и следует ожидать, такое ограничение сильно влияет на изображающие свойства голограммы. Например, ограничение пространственной частоты отсчетов приводит к уменьшению поля зрения или размеров регистрируемого объекта и его изображения. Этот результат аналогичен тому, который получается при записи фурье-голограмм на регистрирующей среде с ограниченным разрешением. С другой стороны, ограничение общего количества отсчетов ведет к ограничению размеров голограммы и, следовательно, ограничению дифракционного предела разрешения в восстановленном изображении. Дальнейшее упрощение, используемое во многих методах машинного синтеза голограмм, состоит в том, что величину амплитудного пропускания в любой точке считают равной либо единице, либо нулю. Такие «двухтоновые» голограммы называются бинарными. Это упрощение позволяет совместить отображение голограмм с техническими данными большинства выходных устройств и облегчает последующую фотографическую запись уменьшенной голограммы.
§ 1. Теорема отсчетов
Существует возможность рассчитать ограниченное число отсчетов (т. е. дискретных значений) непрерывной функции, например фурье-образа функции, и по этим отсчетам точно восстановить всю непрерывную функцию. В соответствии с теоремой отсчетов, если непрерывная функция f (х) имеет ограниченную полосу, т. е. спектр ее имеет значения, отличные от нуля, только в ограниченном диапазоне частот, и если отсчеты f (х) производятся по крайней мере дважды в любом интервале Ах, равном периоду наивысшей пространственно-частотной составляющей f (х), тогда функция f (х) может быть точно восстановлена из дискретных отсчетов. Ниже мы дадим краткое рассмотрение некоторых применений теоремы отсчетов. (Более подробное обсуждение этой теоремы и ее применений дано в книге Брэйсуэлла [4.1, гл. 10].) г)
Для начала введем понятие о гребенчатой функции, показанной на фиг. 19.1:
OO
comb (z) = 2 8(х — т), (19.1)
т=—оо
ГдЄ ш — целое число единиц расстояния. Видно, что функция comb (х) представляет собой бесконечную последовательность
х) См. также [19.10, гл. 5] и [19.11, гл. 4]. Точная формулировка теоремы отсчетов включает требование об эквидистантности точек, в которых берутся отсчеты. Теорема отсчетов была впервые доказана акад. В. A. Ko-тельниковым. — Прим. ред.
ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ
615
б-функций единичной силы, т. е. нормированных по площади на единицу [см. соотношение (4.13в)], причем все б-функции отстоят от соседних на единичном расстоянии. Как показано в работе [4.1], фурье-образ функции comb (х) снова является функцией comb (I), так что
comb (х) ZD comb (?). (19.2)
Расстояние между б-функциями, последовательность которых представляет собой функцию comb (х), может быть установлено
і L comb (X) і
->
-10 12 3 x
ФИГ. 19.1. Функция comb (x).
путем произвольного выбора масштабного фактора с и ввода сх в качестве аргумента в (19.1). Тогда можно написать
OO
comb (сх) = 2 $ (сх — т),
т=—оо
что с помощью (4.13г) можно представить в виде
OO
comb (сх) =-fa- 2 6(*-v)- (19-3)
т——оо
Применяя теорему подобия (4.22) к соотношению (19.2), получаем соотношение для фурье-преобразования
comb (сх) ZD —j-^-y- comb j . (19.4)
Применим эти соотношения для разъяснения смысла теоремы отсчетов. Предположим, что мы производим отсчет функции а (х) регулярно в последовательности точек, отстоящих на расстояние Kx единиц, как показано на фиг. 19.2 для действительной
616
