Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что в плоскости ^Tj помещена фотопластинка, на которой регистрируется картина интерференции получаемых с помощью линзы L1 фурье-образов транспарантов tA и t2. После экспонирования и проявления полученную голограмму возвращают в ее исходное положение в плоскости !¦T]. Транспарант t2 удаляют из входной плоскости, оставляя только транспарант ї1, освещаемый плоской волной. Комплексная амплитуда падающей на голограмму волны представляет собой фурье-образ пропускания I1. При соответствующем выборе функции tA амплитуда дифрагировавшей на голограмме волны в плоскости голограммы по существу представляет собой фурье-образ пропускания t2. Эта волна, проходя через линзу L2 так же, как проходил свет, исходивший из транспаранта t2, образует изобрая^ение последнего в плоскости х3у3. Качество изображения будет определяться видом пропускания t4. Центр изображения транспаранта t2 опять находится в точке у3 = —Ъ над осью z.
Продолжим теперь анализ процессов получения голограмм и восстановления волнового фронта, по-прежнему для простоты
438
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
ограничиваясь рассмотрением плоскостей yz и r\z. Если входная плоскость освещается плоской волной единичной амплитуды, то прошедший свет будет иметь в этой плоскости комплексную амплитуду
ti (уi) + t2 (уі + Ъ).
В плоскости ^r] комплексная амплитуда равна
T1 (л) + T2 (п) ехр (-2тцЬ),
где T1 (г)) и T2 (ті) — соответственно фурье-образы пропусканий ti (уi) Ht2 (у±) и где использовано соотношение (4.20). Фотопластинка, помещенная в плоскость в случае линейной регистрации после проявления будет иметь пропускание tH, пропорциональное интенсивности света:
tH ~ T1Tf + T2T2* + T1T2* ехр ( + 2шт]Ь) +TfT2 ехр ( — 2пЩ. (14.3)
Если осветить голограмму волной с комплексной амплитудой T1 (л), то комплексная амплитуда волны, прошедшей через голограмму, будет равна T1 tH. Особый интерес для нас представляет последний член в выражении для tH, поскольку именно он дает изображение транспаранта t2 (Уі + Ъ). Комплексная амплитуда волны, соответствующей этому ^члену, в плоскости |п пропорциональна
T1TfT2 ехр ( — 2%щЪ).
Тогда обусловленная этим членом комплексная амплитуда а (г/3) в выходной плоскости пропорциональна его обратному фурье-образу
а Ы ~ JF-1 [T1TfT2ехр (-2ШЩ]. (14.4)
Используя соотношения (4.18) и (4.19), мы можем записать произведение T1T* в виде
T1T1* = .F[t* Ы*^ Ы].
Тогда а (у3) принимает вид
а Ы ~ JF"1 [tf (у8) * I1 (у3)] T2 ехр (-2пщЪ)}. (14.5)
Поскольку T2 ехр {—2пщЪ) представляет собой $р [t2 (у3 + 6)], получаем, используя соотношение (4.11),
а Ы ~ ^-1 {jF [tf (Уз) * U (у3)] It2 (у3 + b)]} ~
~№Ш**іШ]*І2(У* + Ь). (14.6)
Из выражения (14.6) следует, что комплексная амплитуда в выходной плоскости представляет собой свертку t2 (у3 + Ъ) с функцией автокорреляции пропускания tA (у3). Ранее было показано [см. выражение (4.13д)], что такая свертка дает t2 (у3 + 6), т. е. неискаженное изображение выходного транспаранта t2 (^1 + Ь), если
§ 2. ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММА G МОДУЛИРОВАННОЙ ВОЛНОЙ 439
автокорреляционная функция представляет собой б-функцию. Следовательно, для получения хорошего изобрая^ения транспаранта I2 нужно в качестве t4 использовать такой транспарант, функция автокорреляции пропускания которого является функцией с острым максимумом, похожей на б-функцию. Если пропусканию ti соответствует точечный источник, расположенный в входной плоскости, то это условие будет выполнено.
1. Функция автокорреляции диффузного экрана
Матовый диффузный экран или рассеивающая пластинка также обладают таким пропусканием, которое удовлетворяет условию создания хорошего изображения. Можно считать, что свет, прошедший через рассеиватель, излучается ансамблем вторичных точечных источников, испускающих сферические волны одинаковой амплитуды, но случайной фазы. Каждый из этих источников можно представить в виде произведения б-функции на фазовый множитель: б {у — ут) ехр (щт). Фурье-образ ансамбля M таких б-функций, согласно соотношению (4.29), есть
м
D (Л) = S ехр(2яи/тЧ)ехр(іфт).
Чтобы найти функцию автокорреляции ансамбля точечных источников, нужно записать произведение D (г)) D* (и) и затем найти обратный фурье-образ этого произведения [см. (4.18)]. Для этого запишем выражение, комплексно-сопряженное предыдущему:
M
D555Cn)= H ехр( — 2niynr\)exp ( — іфп);
тогда
м м
D (Г)) D* (Л) = S 21 ЄХР [2ЯЇ (Ут — Уп) Г)] ехр [І {(рт — (Рп)] = га=1 п=>1
M M
= М+ S 2 ехр [2ПІ {ут — Уп)Ц] ЄХР [І(фт —фп)]. т, п=1
тфп
Для автокорреляции С получим
м м
C = [DD*]= Mo (у) + &[у — (Ут — Уп)]ЄХРІі(<рт — <Рп)].
т, п=1
(14.7)
Отсюда видно, что величина первого члена в правой части равенства (14.7), являющегося единственной б-функцией в точке у = О,
440 ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ ГЛ. 14.
линейно возрастает с числом точечных источников М, в то время как величина каждой б-функции, стоящей под знаком двойной суммы, не зависит от M. Следовательно, для M^l функция автокорреляции имеет резкий максимум при у = 0. Если предположить, что пространственная плотность вторичных источников в рассеи-вателе постоянна, то чем больше размеры рассеивателя, т. е. чем больше число М, тем ближе его автокорреляционная функция к б-функции.
