Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
380
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ ГЛ. 12.
ной дифракционной эффективности и сведением к минимуму нелинейных эффектов. Этот компромисс приводит к необходимости выбора соответствующего отношения интенсивностей пучков R, поскольку R связано с видностыо V соотношением (7.31).
До последнего времени анализ нелинейных эффектов в голографии проводился только для плоских амплитудных голограмм [12.1—12.5]. Здесь мы суммируем наиболее важные результаты, полученные для плоских амплитудных голограмм, используя
ФИГ. 12.1.
Зависимость амплитудного пропускания от экспозиции для фотопластинок Кодак 649F (сплошная кривая) и аппроксимация этой зависимости полиномом третьего порядка (12.1) (пунктирная кривая).
аппроксимацию зависимости t от E полиномом. На практике нелинейные эффекты наблюдаются как для фазовых, так и для амплитудных голограмм, зарегистрированных как в толстых, так и в тонких средах.
На фиг. 12.1 представлена t — ^"-кривая для пластинок Кодак 649F и аппроксимирующая кривая, описываемая полиномом
t = 0,92 — (0,575 40-3) E - (0,13740-3) E2 + (0,735-10"6) Е\
(12.1)
где E — экспозиция в мкДж/см2 и t — амплитудное пропускание. Поскольку такая кубическая аппроксимация достаточно хорошо
ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ ЗАПИСИ
381
согласуется с экспериментальной кривой на значительном ее участке, будем считать, что общее выражение для пропускания плоской амплитудной голограммы имеет вид
t = с0 + C1E + с2Е2 + C3E3. (12.2)
Для обычной области экспозиций наиболее важны нелинейные эффекты, обусловленные квадратичным членом. Как и в формуле (7.32), экспозиция определяется выражением
E = U1Ir6, (12.3)
где U1 — коэффициент пропорциональности между интенсивностью Ip и квадратом амплитуды / (см. гл. 1, § 3) и те — время экспозиции. Первый член в правой части формулы (12.2) не зависит от экспозиции, в то время как второй член соответствует линейному соотношению между пропусканием и экспозицией. Третий и четвертый члены характеризуют нелинейность записи. Рассмотрим теперь вклад, вносимый третьим членом,
t2 = C2E2. (12.4)
Предполоячим, что предметная волна, комплексная амплитуда которой в плоскости голограммы равна а = а ехр (?фа), и опорная волна с комплексной амплитудой в той же плоскости г = = г ехр (?фг) интерферируют в течение времени х6. Соответствующая экспозиция равна
E = U1Ix6 = A1 (аа* + rr* + аг* + а*г) те. (12.5) Подставляя E в (12.4), получаем
Ч = с2к\ (аа* + rr* + аг* + а*г)2 т2е. (12.6)
Чтобы упростить анализ, предположим, что опорная волна не модулирована, т. е. rr* = const. Отделим теперь от (12.6) все члены, пропорциональные первым степеням каких-нибудь членов в равенстве (12.5), и запишем
t2 = Линейные члены +
+ с2к\х\ [(аа*)2 + a2r*2 + a*2r2 + 2aa*ar* + 2aa*a*r]. (12.7)
Кубический член в (12.2) приводит к появлению членов пропускания, часть из которых имеет такую же форму, как слагаемые, входящие в (12.7). При количественных расчетах вклад этих членов следовало бы включить в квадратичный нелинейный эффект. Однако, поскольку здесь нас интересует лишь качественный анализ, этой добавкой можно пренебречь. Предположим, что голограмма освещена исходной опорной волной г, и рассмотрим лишь
382 НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ ГЛ. 12.
ту часть Yt2 дифрагированного света, которая обусловлена членом пропускания t2 (при дальнейшем обсуя^дении мы пренебрежем линейными членами, входящими в ^2)- Как следует из формулы (12.7), волна, дифрагированная в направлении исходной предметной волны и, таким образом, накладывающаяся на линейно восстановленную предметную волку, описывается четвертым членом в скобках. Комплексная амплитуда этой нелинейной компоненты равна г (2aa*ar*) ~ 2 (аа*) а. Согласно анализу, приведенному в гл. 8, § 1, п. 1, множитель 2аа* соответствует излучению, распределение пространственных частот которого имеет центр вблизи нулевой частоты. Поскольку на эту величину умножается комплексная амплитуда предметной волны а, соответствующее количество дифрагированного излучения будет распространяться в направлении предметной волны.
1. Квадратичные члены
Прежде чем более подробно рассматривать вклад в комплексную амплитуду дифрагированной волны Yt2 члена 2 (аа*) аг кратко обсудим вклады первых трех членов в скобках в выражении (12.7). Будем считать, что г — аксиальная плоская волна единичной амплитуды y = г ехр (?ф7.) = 1, так что интересующие нас члены принимают вид
г [(аа*)2 + a2r*2 + а*2г2] = (аа*)2 + а2 + а*2. (12.8)
В соответствии с фиг. 8.3 спектр аа* имеет в два раза большую ширину полосы пространственных частот, чем сам предмет (это становится очевидным, если найти фурье-образ произведения аа* или, что эквивалентно,— автокорреляцию фурье-образа предмета А). Те же доводы можно применить к первому члену в правой части соотношения (12.8). Тогда оказывается, что спектр пространственных частот (аа*)2, полученный путем свертки спектра аа* с самим собой, в четыре раза шире спектра предмета и также имеет центр при ? = 0. Таким образом, сдвиг центральной пространственной частоты ?а предметной волны относительно частоты ?г опорной волны должен быть больше, чем это требуется при линейной регистрации, когда необходимо избежать наложения членов нулевого порядка на восстановленную предметную волну.
