Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Разумеется, что vx и а будут, сохраняясь на каждой характеристике первого
се-
вдоль 12:
2
(vxhit — х р (а)м, — 2^,
также р2 найдётся по формуле
v
а - const. - vX]
(35.3)
dvx
dt
СЛУЧАЙ ПОСТОЯННОЙ ЭНТРОПИИ. ДВИЖЕНИЕ ПОРШНЯ
335
мейства, меняться с переходом от одной характеристики первого семейства к
другой, так что характеристики второго семейства будут кривыми [в
плоскости (х, 01-
Подобного рода картина будет всегда иметь место при распространении
движения в покоящейся и обладающей постоянным давлением и температурой
среде, заключённой в неограниченный цилиндр (прямолинейность движений). В
самом деле, постоянство давления и температуры означает постоянство ft и
скорости звука (обозначим последнюю через а0); условие покоя даст vx = 0,
таким образом, dxjdt = ±а0 = const., х — + a0t-{- const., и мы имеем
прямолинейные характеристики в плоскости (х, t). Если вдоль одной из них
движение начнёт переходить в другую форму, то мы сможем заключить, что в
этом новом движении все характеристики одного какого-то семейства будут
прямыми.
Пусть в неограниченном цилиндре движется по заданному закону
х = fit)
поршень. Предположим, что газ в момент t = 0 был в покое и обладал всюду
одной и той же энтропией ft и скоростью звука а0. Пусть в начальный
момент скорость поршня равна
$L=0'
а затем монотонно убывает. Найдём движение, которое возникнет при этом в
газе «вправо» (т. е. в направлении положительной оси х) от поршня. Пусть
х0—ОА (рис. 138) есть расстояние поршня от начала координат в начальный
момент.
Все точки оси х, лежащие вправо от А (точки, лежащие влево от А, нас
совершенно не интересуют — мы изучаем лишь движение газа вправо от А),
имеют одно и то же значение скорости:
vr = 0
и одно и то же а:
(как точки при t — 0). Возьмём какую угодно точку В вправо от А на оси х
и представим себе, что мы провели из А характеристику первого семейства,
а из В — характеристику второго семейства и что эти характеристики
встретились в точке С. Но тогда, применяя операцию я, убеждаемся в том,
что скорости в С совпадают со скоростями в А (или в В); в самом деле, и А
и В представляются в плоскости (vv, а) одной и той же точкой А' (рис.
139),—значит, и
характеристики типа М\Р и М^Р из операции а пересекутся в этой
336
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ. I
самой точке А' (это будут просто характеристики, выходящие из
этой точки). Так как В (и, значит, С) произвольны, то на всей
ха-
рактеристике, выходящей из А, будем иметь одни и те же значения
скоростей: vx = 0, а — а0, т. е. мы имеем целую прямолинейную
характеристику первого семейства:
х — х0 = a0t.
Это есть та характеристика, вдоль которой покой будет переходить в
движение. Мы уже знаем, что в плоскости (vx, а) мы будем
при этом находиться на одной и той же прямой
vx---^Ta=~^-Ta0. (35.5)
Нанесём в плоскости (х, t) закон дви-жения поршня —пусть это будет линия
L. Возьмём произвольную точку А этой ли-Рис. 139. нии и постараемся
найти в ней vx и а.
Значение vx находится сразу — скорость частиц газа, прилегающих к поршню,
равна скорости поршня — нам надо только найти в точке Ах тангенс наклона
нашей кривой к оси t: dfldt. Чтобы найти а в точке Ах, вспомним, что vx и
а должны быть связаны соотношением (35.5). Достаточно на прямолинейной
характеристике второго семейства, идущей через А', найти ординату той
точки А'у абсцисса которой равна скорости поршня в Ах. Определив vx и а в
Ах, можем построить не только направление характеристики первого
семейства, идущей через Av но и всю характеристику (ибо мы знаем, что она
прямолинейна) по формуле
x — xAl =l(vx)Al-\-aAJ(t — tAJ.
Вдоль всей этой прямой будет vx = (vx)Al и a = aAt. Заметим, что,
вследствие предположения о неположительности производной /', число + од,
будет меньше, чем (vx)A -f- аА = 0 + а0 (aAl < а0 вследствие наклона
характеристики второго семейства, идущей через А')\ следовательно,
характеристика первого семейства, проходящая через Av нигде не
пересечётся с характеристикой первого семейства, идущей из А. Подобные
рассуждения можно применить ко всем точкам линии L и можно построить
расходящийся веер прямых характеристик первого семейства с известными на
них скоростями. Так мы узнаём скорости во свех точках плоскости (х, t),
т, е. скорости в любой точке вдоль цилиндра и в любой момент времени. Мы
можем изобразить затем в плоскости (х, t) законы движения всех частиц, т.
е. провести линии ? — ?(х, t)== const. В самом деле, на оси х достаточно
положить ?=х (начальные координаты); то же
а
а0
*
5 351 СЛУЧАЙ ПОСТОЯННОЙ ЭНТРОПИИ. ДВИЖЕНИЕ ПОРШНЯ 337
самое можно сделать на характеристике первого семейства, выходящей из А.
Затем, пользуясь формулами
мы можем найти ? во всех точках плоскости. Останется только соединить
линиями точки, в которых ? одинаковы. Задача о движении будет решена.
Несколько слов об аналитическом решении задачи. Для интегрирования (35.4)
мы должны написать в нашем случае:
