Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
плоскости (х, t) даны значения vx и а. Найти vx и а в точке Р пересечения
характеристик разных семейств, выходящих из Мх и М2 соответственно. Эта
операция выполняется сразу, если отметим точки УИ' и М'2 плоскости (vx,
а) с координатами, равными скоростям в точках Мх и М2 соответственно;
действительно, заметим, что, перемещаясь в плоскости по характеристике
МХР, — пусть для конкретности это будет характеристика первого семейства,
мы будем двигаться в плоскости (vx, а) по известной прямолинейной
характеристике первого семейства, проходящей через Му.
2
vx — (Я v)m, + ^ZT (а “ йм?) = 0:
двигаясь же вдоль М2Р, мы пойдём в (vx, а) вдоль известной прямой 2
t
(Vx)m2
1
(,а — ам2) — о.
Рис. 137.
Точка Р' пересечения этих прямых и даст скорость vx и а в Р.
Операция На некоторой кривой L, не являющейся характеристикой и лежащей в
плоскости (х, t), даны значения vx. В точке М, расположенной близ кривой,
но вне её, известны vx и а. Надо найти обе скорости в точке Р пересечения
с кривой L характеристики, проходящей через М (рис. 137). Чтобы это
сделать, обратимся к плоскости (vx, а) и, отметив в ней точку М',
координаты которой суть скорости в точке М, проведём через ЛУ прямолиней-
СЛУЧАЙ ПОСТОЯННОЙ ЭНТРОПИИ. ДВИЖЕНИЕ ПОРШНЯ
333
jjvю характеристику (того же семейства, что и МР) и на ней отыщем точку
Р', в которой vx равно известному значению величины vx в Р? Ордината
точки Р' (vx, а) и даст нам скорость звука в Р'.
Практически мы сможем провести наши операции точно лишь наполовину (так
же как это было в § 11): именно, мы можем точно найти величины vx и а в
точке Р' характеристики в плоскости (•п ., а), но не сможем определить
точно местонахождение точки Р, ибо вид характеристик плоскости (х, t)
неизвестен. Можно, однако, по формуле (33.8) найти углы касательных к
характеристикам в точках М1 и М2 (или М), провести эти касательные, найти
пересечение Р этих отрезков прямых и считать, что точке Р как раз и
отвечает найденная точка Р' плоскости (vx, а). Ошибка при этом тем
меньше, чем ближе точки Мх, М2 друг к другу или Чем ближе к кривой L
точка М. Мы можем, так же как и в § 11, дать оценку погрешности, заключая
неизвестные нам дуги характеристик в известные углы: мы сможем, в случае
однозначной зависимости между точками плоскости (vx, а) и (х, t),
опираясь на легко доказываемую монотонность изменения при перемещении
вдоль характеристики угла наклона касательной к характеристике,
заключить, что характеристика МХР, например (операция а), лежит внутри
угла между отрезком Мкасательной к характеристике в Мх [находящейся по
формуле (33.8)] и отрезком МХР**, параллельным касательной
к характеристике МХР в точке Р [наклон отрезка МХР найдётся по (33.8),
так как скорости в неизвестной точке Р нам точно известны— это координаты
Р'].
Два слова об определении величины L Если нам известно 5 в точках Мх и М2,
то, чтобы найти ? в Р, надо обратиться к формулам (33.1 1), (33.12):
2 х + 1
— 4- п *-! a *-* dt — ± а0 а
Зная ? в точке Мх или М2, можем найти там а0(?) и таким образом найти
dz_/dt. Остаётся написать приращение:
2 х + 1 \
'-‘а’-'кД/,
2 х+1 \
X+1 а4-1 )м2 если двигаться по М2Р, причём первый раз Дt — tp — tM,, а во
второй раз ^ ~ — ^ж2-
Переходя к конкретным задачам, остановимся сперва на одном важном частном
случае, сразу же допускающем сведение задачи к обыкновенным
дифференциальным уравнениям. Пусть движение
если двигаться по МХР или А;
334
теоретические основы газовой динамики
[ГЛ. I
наше таково, что в плоскости (дг, t) существует одна характеристика Л, во
всех точках которой как vx, так и а сохраняют постоянное значение, Эта
характеристика Л будет тогда прямой линией [вследствие (33.8) вдоль неё
будет dxjdt = const.]; пусть для конкретности Л есть характеристика
первого семейства. Рассмотрим теперь характеристики второго семейства:
Lx> L2, ... Пусть они пересекают Л в точках Лф, М2, . . . соответственно:
вдоль линии Lx будет, по (35.2),
и т. д. Очевидно, что можно найти из условия, что Lx проходит через Мх:
и т. д. Но, вследствие предположенного, (vx)m, = (vx)m2 = ? • •(о).м,= —
(а)м2= • ••, значит, будет р.[ = р2 = • ? ? > т- е- не только вдоль
каждой характеристики, но и во всей плоскости будет выполняться
соотношение
где vXl и Cj суть постоянные значения vx и а на Л. Но тогда урав нение
(33.4) в соединении с (30.3) даст:
Таким образом, задача сводится к одному уравнению в частных производных
первого порядка, т. е. к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Заметим ещё, что в этом случае не только характеристика Л, но и вообще
все характеристики первого семейства будут прямыми. В самом деле вдоль
каждой такой характеристики будет —[2/(*— 1)]а = 2Х (на каждой своё /.),
но, кроме того, повсюду выполняется (35.3); таким образом, вдоль каждой
характеристики первого семейства vx и а будут связаны двумя
алгебраическими соотношениями, т. е. будут постоянны. Отсюда, вследствие
(33.8), следует прямолинейность характеристик первого семейства.
