Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 63

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 183 >> Следующая

что отвечает знаку минус. Те линии, вдоль которых мы перемещаемся в
плоскости (vx, а), когда в плоскости (х, t) мы идём по характеристикам,
назовём характеристиками (первого или второго семейства) плоскости (vx,
а). Заметим, наконец, что вдоль характеристик, вследствие (33.8) и
(33.5):
(_«,+*')= ±-^* (33 ДО)
СП
dt
д-
dt
дх
Ро
Итак, вдоль характеристик первого семейства dx
dt
dvx |__________2_
' dt r -/. —
da
= vx + a\
a d In &
1 dt
y. — 1
dt
dl
dt
Po
* + l
(33.11)
вдоль характеристик второго семейства:
dx
dt
a;
dv x ~dt
da
di
~dt
V- — 1 dt
2 x + 1
— a0 a *-1
(33.12)
§ 34. Сильные разрывы в одномерной нестационарной задаче. Поверхность
разрыва в одномерной задаче будет плоскостью, перпендикулярной к оси,
вдоль которой происходит движение. Если мы условимся считать
отрицательной областью ту, что лежит от поверхности разрыва в направлении
отрицательной оси х, а положительной областью — ту, что лежит «справа» (в
направлении положительной оси х), то у нас будет просто
Vn = vx
(п направлено всегда в сторону положительной области). Таким образом,
а = Vn=N — vx. (34.1)
Уравнения (2.15) и (2.16) § 2 этой главы примут вид:
Р Q(vx+—vx-.) = Р+—Р-, (34.2)
р+6+ = р_0_. (34.3)
Кроме того, как всегда, имеет место формула (5.10) § 5. Таким образом,
семь величин: N, р+, р_, р+, р_, vxV, vx_ связаны тремя соотношениями, и
мы можем, считая три величины (например, vx + , Р \ и Р+) известными,
выразить любую из оставшихся величин через одну из этих последних
величин. В предыдущем параграфе мы заме-
330
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ. Г
нили, однако, отыскание величин р и р отысканием а и 0; поэтому и здесь
мы выразим р и р через а и ft. Будем искать связь между и vx_ и между &_
и N. Попутно найдём также зависимость vx_ от N.
Мы ограничимся для простоты дальнейших выкладок тем случаем, когда vx+ =
0, т. е. разрыв распространяется в покоящейся среде. При этом будем
считать, что а+ — а0 = const., /?+=/?0 = = const., р+ = р0 = const,
(«исходная» плотность). Назовём затем vx_=v, р_=р, р_ = р, а_=а.
Формула (5.14), решённая относительно р+/р_, даст:
- а\
+ 7—(34.4)
+
р , х — 1 2 а.
-1±Д =______________|--------------+
р_ Х-|-1 X + 1 0^
заменяя здесь р+/'р_ по (34.3) через 0_/0 + и замечая, что по (34.1) 6_
== N — vx, 0 + = N, получим из (34.4) зависимость между N и vx в виде:
N2 — ~^Nvx — al = 0. (34.5)
С другой стороны, формула (34.4) даст нам
Ро
1 . 2 al
(34.6)
(34.7)
Р Х+1 X -f- 1 jV2 ’
что в соединении с формулой
ft _ Пй _ е + |)у-о-о
Р 9-РХ %+1 —(х—1)-^
Р
даст возможность написать Ь_ через посредство N (и конечно, 0+, р0, а0).
Наконец, чтобы найти зависимость между а и vx, воспользуемся сперва
формулой, аналогичной формуле (34.4),
р_ у. — 1 2 а2_
Р+ х + 1 х-(-1 в2_
т. е.
р _ X— 1 2
Ро х+1 х + 1 (N — vxy
что, вследствие (34.3), напишем ещё так:
*—1,2 а2 N
х+1 х+1 (N—vx)2 N — vx
Остаётся только исключить из (34.5) и из этого уравнения N. Для этого
запишем сперва последнее уравнение в виде
N2 + ^-vxN ~^-vl~a* = Q
СЛУЧАЙ ПОСТОЯННОЙ ЭНТРОПИИ. ДВИЖЕНИЕ ПОРШНЯ
331
и вычтем из него почленно (34.5); получим после простых преобразований
1
1
(34.8)
Наконец, вставляя это между а и vx:
N в (34.5), получим искомую зависимость
a2 -j- а?
<+2—РЧ
4 (а
-4)2
1. (у. — I)2
= 0.
(34.9)
Уравнение (34.9) представляет в плоскости (a, vx) некую кривую четвёртого
порядка. В интересующей нас области значений а(а>0) она имеет двойную
точку: а ~ а{), vx — 0 (рис. 135) и симметрична по отношению к оси vx, а
также по отношению к оси а; её асимптоты имеют уравнение
1)
vr 0,527т>,
Кроме того, оказывается, что достаточно рассмотреть только ту часть
кривой, на которой а > а0.
Уравнения (34.6) и (34.7) показывают, что если f! + =
= const., но N меняется (зависит от времени), то Я_ станет переменной
величиной, т. е. если в среде, покоящейся и обладающей постоянной
энтропией, перемещается с переменной скоростью поверхность сильного
разрыва, то после прохождения точках разную энтропию.
§ 35. Случай постоянной энтропии. Движение поршня в неограниченной трубе.
Точные решения. Наличие отражающей стенки. Предположим сперва, что
0 (Е) = const.
Уравнения для характеристик (§ 32) примут тогда особенно простой вид:
здесь rff)/rf? = 0, и мы можем проинтегрировать уравнение (32.9). Получим
вдоль характеристик:
2
её среда получит в разных
а — const.
Таким образом, в плоскости (vx, а) характеристиками являются два
семейства параллельных прямых, наклонённых к оси vx под углом,
332
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ. 1
тангенс которого есть ±(х—1)/2 (рис. 136). Будем писать для характеристик
первого семейства
а для второго
vx~\-^п в==2Х’
(35.1)
(35.2)
Рис. 136.
(наше семейство прямых является аналогом семейства эпициклоид плоской
безвихревой задачи). Аналогично тому, как это было в § 11, а мы можем
и здесь наметить
две основные операции, назовём их аир.
Операция а. В двух расположенных близко Друг от друга точках Мх и М2
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed