Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение движения в виде
1 др ______ dvx dvx
Р дх ' dt 'Vjc дх
Уравнение же неразрывности даст:
дР I d?vx ___ п
д% "+* ТГ ~~ и'
Прибавим ещё условие адиабатичности движения
±JL = o
dt рх х дх о*
Мы имеем таким образом три уравнения для определения трёх функ-иий: vx,
р, р. Как и прежде, введем величину &, просто связанную с энтропией, из
условия
/»==»*(X, t) р\ (33.1)
') Пушкин П. И., Обтекание эллипсов и эллипсоидов дозвуковым П°мм°М Газа’
®ыч' мат’’ ^ (1957); Расчёт некоторых звуковых течений газа, НММ, т. XXI,
в. 3, 1957; Расчёт об текания произвольного профиля и тела вращения в
дозвуковом потоке газа, Выч. мат., 3 (1958); Дозвуковое обтека-ние
эллипсов с циркуляцией, ДАН СССР, 125 (1959), № 4.
326
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГД. I
Тогда d9 . d9 п
W + = (33.2)
Уравнение (33.2) показывает, что в случае непрерывности движения 3
сохраняется в частице. Вместо функций vx, р, р удобно будет ввести vx> а
(скорость звука) и &. Так как
х-1
а2 = х у = *&xpx_1 = * , то In р — ^ In а—1 *п
Таким образом, уравнение неразрывности даст после простых преобразований:
х—1\ dt ^v* дх ) r.— \\dt n ^Vxdxmw)^ дх —U'
что, вследствие (33.2), может быть записано в виде:
х—1 dvx , да . да п /00
2 а ~дх ~dt Vjc The =
Уравнение движения даст dvx . dvx ___________ р д\пр _ а2 ( 2х din а
х dlnx9
dvx . dvx р_ д\пр а2 / 2х d In а х d In х9 \
dt ‘Vjc дх р дх х \ х — 1 дх х — 1 дх )’
что может быть представлено в следующем виде:
dv* I 2 д да д2 dlni>
dt ^ х дх ' 1 дх х — 1 дх ( • )
Мы уже упомянули о том, что & сохраняется в частице; распределение & от
частицы к частице следует считать поэтому в задачах газовой динамики как
бы начальным условием и данной функцией [наподобие того, как в плоской
стационарной задаче мы считали известной функцию & = & (ф)] от
лагранжевой координаты (мы будем обозначать её в этой главе буквой ?):
» = в (О-
Аналогично тому, как в плоском случае мы вводили вспомогательную функцию
ф от х и у, введём теперь вспомогательную величину % — лагранжеву
координату — функцию от х и t:
$ = ?(*, t).
Функцию эту мы получим, если решим уравнение
х = х (?, t)
относительно
С другой стороны, уравнение неразрывности позволяет заключить о
существовании функции А (х, t), такой, что
дА дА
Р~~ дх ’ pvx— dt '
ОДНОРАЗМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
327
Уравнение (33.2) заставляет нас считать, что А зависит лишь от ?. Более
того, вводя плотность ря в некий исходный момент как функцию ?: Ро (?)?
мы можем найти связь между А и ?. В самом деле, напишем тождество
5 = $(*(5, t). t)
и продифференцируем его обе части по получим
. d; (х, t) дх (с, t)
д.х Ж~~ ’
но вследствие уравнения неразрывности, написанного в форме Лагранжа. для
нашего одноразмерного движения имеем:
дх _ ро (?) .
значит,
так что
дх р0
- {Po&dl
Таким образом, Ь(х, t) должна удовлетворять одному из двух уравнений
= ~3 = — — • (33-5)
дх р0 dt ро
Заметим, что, задав й(?) и р0(?). мы можем определить и /?0(0 и аи(?)
(давление и скорость звука в исходный момент). В самом деле:
/ х — lV/n Г\* X
а0 = (у.йр0 J"; р0 = »)р0.
Мы можем теперь записать (33.4) в виде
(33.6)
A KJ Л /V 1 PQ СЬ Ч>
где
2 1
р — а *-1 (у.б'х) Х-1. (33.7)
Таким образом мы должны определить две функции: vx(x, t), а(х, t),
удовлетворяющие дифференциальным уравнениям (33.3) и
(33.6), причём в последнее уравнение входит ещё третья функция ?(-?, t),
но уже не под знаками дифференциалов; эта функция \ должна Удовлетворять
одному из уравнений (33.5). Задача наша представляет аналогию с плоской
вихревой задачей, рассмотренной выше (§ 9): там речь шла об определении
функций vx, vy из уравнений (9.1), (9-2), причём формула (9.1) содержала
ещё функцию ф, каковая
328
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
должна была удовлетворять одному из дифференциальных уравнений (9.6).
Обращаясь к системе (33.3), (33.6), будем искать для неё
характеристические многообразия в виде
х = х (t).
Вдоль этих линий
dvx
dt
dvx
dv,
dt
дх
da
Ttt
da
Tt
da
The
x
dl
lit
"• ; *
dt ^ dx
Находя отсюда dvjdt и dajdt и вставляя их в уравнения (33.3), (33.6),
получим:
7. — 1 dvr . . da da
-у-«-АГ+(^-^)лГ = --йГ.
(Vx
dvx
‘la да
дх
у. — 1 дх
Ро
7.—1 dl
dv.
dt
Условие невозможности определения dvjdx и да/дх из этой системы уравнений
заключается в равенстве нулю определителей
I— 1
2
vr — л;
a vx — х 2а
7. -
da
Tt
Ро йЛпЭ 2 .-1 dl а '
Из первого равенства находим
dx
Tit
Из второго:
dv,
dt
2 da
?^т аТТ
2 а
х— 1
d In tt
?0.
dvx
dt
(33.8)
7. — 1 dl
или, если применить (33.8), после простых преобразований
О
dvx
dt
da
1 dt
Ро
d I n tt ,
a1.
/. — 1 dl
(33.9)
Уравнение (33.8) показывает, что при любом нестационарном одноразмерном
движении газа через каждую точку плоскости (х, t)
5 34] СИЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ В ОДНОМЕРНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧЕ 329
проходят две характеристики. Назовём характеристикой первого семейства
ту, что отвечает знаку плюс, а характеристикой второго семейства — ту,
