Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
поверхности будет отвечать одна точка Л («о’ % wo> кРивой I? Докажем
теперь, что поверхность (31.43) есть плоскость в пространстве координат.
Действительно, по уравнению движения
rfV 1
~ = _7grad p.
Это равенство означает, что при бесконечно малом удалении вдоль линии
тока от поверхности р = const, приращение d\ вектора скорости будет
всегда нормально к поверхности р = const. Но построенные таким образом
приращения dV во всех точках поверхности р = const, имеют одно и то же
направление — они параллельны касательной к кривой I в одной-единственной
точке А (и0, v0, w0). Значит, любая поверхность р = const. является
плоскостью, нормали к которой параллельны касательной, проведённой через
соответствующую точку кривой.
Воспользуемся теперь уравнением (31.33) и (31.34). По (31.33) имеем:
dvx dvy dv ди dvx dvz dw du dy dx ' du dx dz dx du dx ’ dvy dv dvx
/ dv \2 du dvy dv dvx dv dw du
dy du ду V du / dx ’ dz du dz du du ' dx '
dvz dw dvx ______/ dw\2 du
dz da dz \ du j dx
Подставим полученные выражения в уравнение (31.34) и сократим его на
величину dujdx', получим следующее соотношение между дифференциалами du,
dv, dw вдоль кривой I:
(ft2 — «2) (du)2 -(- (a2 — t»2) (dv)2 -j- (a2 — w2) (dw)2 —
— 2uv du dv — 2uw du dw — 2vw dv dw = 0. (31.44)
Это соотношение можно записать в виде:
(a\dV\)2 = (V -dVf, (31.45)
где дифференциалы берутся вдоль кривой I, причём V2 — и2 -j- °2 ~Ь ®*2-
Прежде всего отсюда следует, что движение рассматриваемого типа будет
обязательно сверхзвуковым. Действительно, соотношение (31.45) инвариантно
по отношению к направлению осей и, v, w (vx, vy, vz). Возьмём какую-либо
точку М кривой / и направим ось и по касательной к I в точке М\ тогда в
этой точке dv — dw — 0 и мы будем иметь (a2—u2)du2 — 0 и, так как du Ф 0,
то и2 —а2, т. е. величина
320
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ. t
проекции скорости на направление I равна скорости звука. Отсюда следует,
что рассматриваемое движение может быть только сверхзвуковым.
Плоские безвихревые движения, которые мы изучали ранее, являются частным
случаем рассматриваемых сейчас движений: они получатся в случае, когда
кривая I — плоская кривая. При этом, как мы знаем, годографом скорости
будут те или иные эпициклоиды. Уравнения этих эпициклоид найдутся сразу
же из уравнения (31.44), если положить там dw — 0.
Уравнение (31.45) можно будет ещё записать в виде
ds2 = (^-dV^\ (31.46)
где ds — элемент дуги вдоль линии I в пространстве (и, v, w). Так как
скорость звука а есть функция одного только модуля V, это уравнение
интегрируется в квадратурах; оно даёт ту же зависимость длины дуги s от
V, какая связывала в случае эпициклоид соответствующие величины на
плоскости.
Если провести прямолинейные лучи через некоторую точку кривой I и через
начало О системы (и, v, w), мы получим коническую развёртывающуюся
поверхность. Развернув её в плоскость, увидим, что кривая I обратится в
эпициклоиду. В самом деле, расстояния V точек кривой I от точки О, а
также элементы длины дуги при этом не изменятся и поэтому уравнение
(31.46) будет удовлетворяться и для плоскости; но на плоскости уравнение
(31.46) есть уравнение эпициклоид.
Это соображение позволяет найти все интегральные кривые уравнения
(31.44). Для их получения достаточно взять любую коническую поверхность,
развернуть её на плоскость, нанести на ней два семейства эпициклоид и
затем снова восстановить исходную поверхность. Нанесённые нами
эпициклоиды перейдут в систему I.
Более подробно вопросы геометрии движений, отвечающих случаю наличия I,
были рассмотрены в работах А. А. Никольского, С. В. Ва-ландера и П.
Жермен.
§ 32. Осесимметричное обтекание с отошедшей ударной волной. При обтекании
тупого осесимметричного тела сверхзвуковым потоком (скорость по
бесконечности направлена вдоль оси симметрии тела) образуется
осесимметричная ударная волна, отходящая от поверхности тела. Задача
определения формы ударной волны и вихревого движения между поверхностью
разрыва и поверхностью тела решается численно. Схема решения была дана О.
М. Белоцерковским и реализована на электронной быстродействующей
вычислительной машине. Так же как и в аналогичном плоском случае (§ 22),
здесь был применён метод Дородницына, позволяющий решить задачу в точ-
32] ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ С ОТОШЕДШЕЙ УДАРНОЙ ВОЛНОЙ 321
ной постановке и с нужной степенью точности. Путь решения заключается в
следующем.
Вводятся сферические координаты (г, 0, X) (ось 0—вдоль потока). В силу
осевой симметрии движение не зависит от X и
составляющая vk скорости равна нулю. Уравнения движения
примут вид:
dvr Vn dvr vl 1 dp
v. V1 + — -af - =------------------• (32.1)
r dr ' г d 9 r f dr K ’
vrv±^_\ %. (32.2)
r or ' r dr 1 r pr dr 4 J
Используя уравнение неразрывности
-Jr (r2pvr sin 0) + ~ (rpt% sin 0) = 0. (32.3)
введём функцию тока Ф такую, что
9 • о . а dW ,„п ..
r-pvr sin 0 =----щ-, rpvb sin 0 — ? (32.4)
При этом
?Ц- = Яр sin Rvr), (32.5)
