Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
некоторые новые классы точных (нелинейных) решений.
В случае осесимметрического обтекания конуса (?) концы вектора скорости
располагались на кривых vr— f(vz). Это значит, что в пространстве vy, vz)
концы вектора скорости располагались в этом
§ 3lj СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 315
случае на поверхности вращения. Возникает вопрос, нельзя ли построить
другие виды движений, более общие в том смысле, что в них концы вектора
скорости хотя и лежат на некоторой поверхности Е, но последняя не
обязательно является поверхностью вращения.
Задача эта была исследована впервые А. А. Никольским !) (1949 г.).
Изложим некоторые результаты этих исследований.
Пусть уравнение поверхности Е в пространстве скоростей записывается в
виде
v2 = F{vx, vy). (31.32)
Построим дифференциальное уравнение в частных производных, ко-
торому удовлетворяет функция F.
Мы рассматриваем безвихревое движение, так что выполняются соотношения:
dv, dvv dvv dv, dv, dv,
~dy~ = 'dx'' ~dT = ~dj~' ~dx~~dz' (31.33)
J) Никольский А. А., О классе адиабатических течений газа, которые в
пространстве годографа скорости изображаются поверхностями, ЦАГИ, Сборник
теоретических работ по аэродинамике, Оборонгиз, 1957.
Никольский А. А., Об одном классе точных решений простран-
1Т(ШП)Х уравнений газовой динамики, АН СССР, Инженерный журнал,
316 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Кроме того, должно выполняться уравнение (28.5), которое, используя
(31.33), мы можем записать в виде: dvx dvv dv,
{vl -“2Уж? +? К - fl2) ^- й2) ^ +
+ 2 W 4? + 2v*v* Ж + 2 W = 0- (31 -34)
Вставим теперь vz из (31.32) в уравнение (31.34), используем еще раз
(31.33) и перегруппируем члены. Получим
+(i^)l_(^ + /7^r) } (31,35)
Перейдём теперь от переменных х, у, z к переменным и, V, С из
соотношений:
Легко видеть, что
dvx ду dvx дх dvy дх
Ж'^Ж^' Ж ~Ж==Ж^’
dvx dvv / dvx \2 где \Tty~/ ’ тогда (31-35) может быть перепи*
М‘+Ш!Н“+^П?+
+ 1["+-fS+lfF+»>-,»Sil+
+ i o’ [11 + (жЛ - (” ?+F %)*} Ж =<31 -36>
В этом уравнении коэффициенты, стоящие при dyjdv, dxjdv, дх/ди, зависят
только от и, V, сами же величины х, у зависят как от и, V, так и от С.
Покажем теперь, что в нашем движении х и у суть линейные функции от С с
коэффициентами, зависящими от к и и. Для этого введём в рассмотрение
функцию х из равенства:
X = ux + vy-\-F(u, г/)-С —<р(лг, у, С), где ср — потенциал скоростей,
так, что и — дф/дх, v = dfldy, Д = дср/дС. Легко видеть, что х зависит
лишь от и и г», но не зави-
§ 3lj СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 317
сит от С. Действительно:
/ы — и^л-ч, Ё1.Л- F — Jl.lL _ д? —
°1 — и да ^ да ^ дх дс " ду да да ~~
— uda^voa^ да v да г —и-
Далее,
д-t . дх .ду , r dF d<f дх ду ду _ dF
Таким образом,
* = -Й—;'Ж- 01.37)
(31.38)
Таким образом, х и у являются линейными функциями < фициентами.
зависящими от и и -у.
Мы можем теперь написать
ду ___ д2у - d2F дх _ д2у . d2F
Н'+тп°+г?т+
+ {“![1+(1г)г]-(“ + р^П-^:=0- 01.31
Одновременно с этим, приравнивая нулю члены, свободные от I получим
уравнение для у.
318 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. |
этой точке в пространстве (х, у, z) будет отвечать целая прямая
H?L-*(?)..• <»??«)
Таким образом, в нашем движении существуют целые прямые, вдоль которых
значение скоростей сохраняется (меняясь от прямой к прямой). Расположение
этих прямых в пространстве (х, у, z) зависит от вида функций х и F.
Задание поверхности F уже определяет направление этих прямых: каждая из
прямых (31.41) параллельна нормали к Е, проведённой в точке и0, vQ.
Размещение этих прямых в пространстве регулируется функцией у (и, v). В
частности, если x = const. (это значение тождественно удовлетворяет
уравнению (31.40)), имеем
и тогда все прямые постоянного вектора скорости проходят через одну точку
х — у = z — 0.
Х = с1м + с2'У + с3/;’(ц, ©) + С, где сх, с2> с3, С — произвольные
постоянные (такая у, как легко видеть, вновь удовлетворяет уравнению
(31.40), если F удовлетворяет уравнению (31.39)), получим:
У = с2 + (с3 — г)(|^)ц
Теперь мы будем иметь в пространстве (х, у, z) пучок прямых, проходящих
через точку x — cv у = с2, г = сй. Это — своего рода конические течения
(не осесимметрические), вид которых остаётся в значительной степени
произволен, пока не задана F.
На конкретных примерах различных F мы не останавливаемся.
Рассмотрим теперь пространственные течения газа, в которых концы вектора
скорости располагаются на некоторой линии. Такие течения были рассмотрены
А. А. Никольским (1950) в том виде, как это излагается ниже.
Пусть в пространстве vx, v , vz области течения соответствует кривая I,
имеющая уравнение
vx = u, «=?»(«), vz = w(u). (31.42)
Рассмотрим в нашем течении, в пространстве (х, у, z), поверхность Р (х,
у, z) = р0 = const. (31.43)
СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
319
По уравнению Бернулли и в силу (31.42) мы будем иметь во всех точках этой
поверхности одни и те же значения vx, vy, vz; пусть это будут vx = uQ, vу
= г>0, vz — w0. Таким образом, в пространстве (ТД- vy' vz) всей нашей
