Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Гуревича1). Чтобы это сделать, удобно вернуться к уравнению в форме
(31.1) и перейти сперва формально к переменным х, у, z:
TPL + SI"9wlsi"»irl = 0-
избавимся от мнимости преобразования, положив 0 = г'9.
и мы окончательно получим для v'z уравнение Лапласа в плоскости полярных
координат е (радиус-вектор) и а (полярный угол):
301 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Таким образом, можно рассматривать г/ как действительную часть некоторой
функции комплексного переменного
т = веЧ (31.10)
Обозначим мнимую часть этой функции буквой s и напишем
<+й = х/С0. (31.11)
Легко видеть, что внутренность круга радиуса 1 jk плоскости ($, ?»;)
переходит на плоскости (т) во внутренность круга радиуса 1 (е=1). В самом
деле,
« = = = (31.12)
так что при е, меняющемся от 0 до 1, R будет меняться от 0 до 1 jk.
Так как 7]/? = tgo, — полярные углы при нашем преобразовании не меняются.
Прежде чем переходить к выяснению краевых условий в плоскости (т),
посмотрим, как выражаются скорости г/, v' в функциях новых переменных е и
а. Найдём полный дифференциал от ш = v'x + iv'y
при движении по радиусу-вектору (т. е. при а = const.). Имеем
dR ~~ dZ cosa~T- drj sin a R у dZ 71 d-q)-
С другой стороны, мы можем вспомнить, что в переменных %, ч\, z:
= 0 те = = ^
dz ’ ' ‘ дг dZ дг dij дг z \ dZ ' д-q) ’
Таким образом,
d® _ 2 dm 2 I dv'x . dvy \
~~ ~R Hz ~ ~ ~R \ ~dF~ +1 ~dz ) ’
Вследствие отсутствия вихрей мы имеем:
' 31] СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 305
далее, нетрудно выразить правую часть этого равенства через функ-щи / и /
(сопряжённая с /). Если ввести С:
С = =/?«'•; Z=Re~l°, (31.14)
10, очевидно, можно написать:
Наконец, можно связать дифференцирование по С с дифференцированием по
т и т. В самом деле, по (31.10), (31.14) и (31.12)
имеем:
1 = ^ = 1 Х— = — —L^, (31.16)
т . k 1 + е* к 1+тх
Фф' Фф 'фьШН + Ф*!ФФ-kY
Принимая во внимание, что
K=i[ /(')+/Wb
можно написать теперь
Ф = — ±(ФФ_± \e2e2io^L_^dfJ\. (31.17)
дЯ 4 1 В2 ? [ dz dl J
Если теперь двигаться по радиусу-вектору а = const., то будет:
так что окончательно изменение со при передвижении по радиусу-вектору
будет:
= _1 [ееь а/ +- aj] = - j ^df+i а/у
и мы получим для (о следующую формулу:
m = = /(*<*/+=-*/). (31.18)
Произвольная постоянная интегрирования должна содержать о, но, г-ак
показывает более подробный расчёт, может быть приравнена нулю.
При помощи функций со и / мы можем записать краевые условия. В общем
случае конуса произвольного сечения условия эти будут
306
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
иметь сложный вид. Просто они будут выглядеть в случае, когда обтекаемая
поверхность состоит из отрезков плоскостей (или из продолжений
плоскостей), пересекающих плоскость (С) по прямым (или по продолжениям
прямых), проходящим бесконечно близко от начала координат. Не
останавливаясь более на общих рассуждениях, перейдём к рассмотрению
примеров.
В качестве первого примера рассмотрим обтекание прямого круглого
бесконечно тонкого конуса с углом раствора 2f)0, ось которого
В начале координат должна быть особенность. Нетрудно проверить, что
решение для / имеет вид:
где с надо подобрать так, чтобы были выполнены краевые условия. Именно,
так как нормали к нашему конусу с точностью до малых величин будут
совпадать с радиусами-векторами нашего бесконечно малого круга в
плоскости (С), то:
Рис. 122.
расположена вдоль оси z. Случай этот уже был изучен нами точно в § 27 и §
28 приближённо. На рис. 122 схематически дано расположение обтекаемого
конуса, а также конуса характеристик(пунктир) и плоскости z— 1.
Обтекаемый конус пересекает плоскость (С) внутри круга радиуса 1 jk по
кругу бесконечно малого радиуса tg(30«p0. На круге радиуса 1 в плоскости
(т) v'z должно быть равно нулю.
/ = с1пт,
(31.19)
v'x cos а + Vy sin о +- = 0.
Это условие можно записать ещё так:
е = е0, причём
k 1 + 4
С другой стороны, по (31.18) и (31.19) имеем:
2
2
Итак,
с как радиус е0 нашего круга в плоскости
н='к~"\/'м~х
~<sina+W;cosa-^ = 0.
308 теоретические основы газовой ДИНАМИКИ [ГЛ. J
Это означает, что здесь будет
Im ((!>*-*•) = 0,
т. е., как легко видеть из (31.18) и (31.11), на нашем радиусе-векторе ds
— 0.
Итак, мы должны найти аналитическую функцию /(т), удовлетворяющую
следующим условиям: 1) на дуге АВ (рис. 124) круга радиуса, равного
единице, Re/ = — ^(3; 2) на дуге АС круга Re/ =Arv$; 3) на полуокружности
BDC Re/=0; 4) на отрезке ОА действительной оси Im / = const. = 0.
Таким образом мы имеем разрез вдоль действительной оси и особенности в
точках В и С. Преобразуя плоскость т в плоскость
Легко проверить, что (31.20) действительно удовлетворяет всем нашим
краевым условиям.
Подсчитаем ещё значение v'z на крыле (сверху и снизу), чтобы затем,
применив уравнение Бернулли, найти подъёмную силу. По (31.20)
СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
309
Для нижней части крыла (а = —и) имеем: Наконец,
р'п - К = РЛ ft, - <н) = 2 -?Га
Таким образом,
2Plt/?p 2(1 —е)У1Г_
Рв — Рв =------------------
