Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 100.
Проведём касательные к передней кромке в точках А и С. Обозначим через Е
область плоскости (х, у), занятую крылом; обозначим через Т область
«вихревой пелены» сзади крыла, т. е. область, ограниченную задней кромкой
крыла и параллельными оси х полупрямыми, выходящими из точек В и D
соответственно (см. рис. 100). Обозначим ещё через R(Q) область
«концевого эффекта» крыла, т. е. часть плоскости, расположенную между
касательными в точках А и В (С и D) (рис. 100).
Так же как в § 28, ищем решение для потенциала Ф' (х, у, z). Представим
его в виде:
Ф'(х,у,г)=[ [ . с(-*/,у')dx'dy' ---- (30Л)
k ,У' J J -\Г(х — х')* — к*[(у-у'У+гЧ
причём интегрирование распространяется на ту часть плоскости (х', у'),
для которой подкоренное выражение в (30.1) положительно (рис. 101). Так
же как и в § 28, нам придётся, таким образом, иметь дело с областями,
отсекаемыми ветвями гиперболы
{X — x'f — k2(y — уО2 = k2Z2-f
как и в § 28, мы берём *'<*- kV^-y'f+Z*.
СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА
ветвь гиперболы, j
Заметим теперь, что с(х', у') в (30.1) имеет простой
гидро-
динамический смысл;
с(х. y) = _i(^s0. (30.2)
Чтобы убедиться в этом, запишем сперва (30.1) в виде
ф (*,**)=: 7 f „
Х,У_Ю ( J i_ V(x-xy-h2 [(у-y’Y + z2]
к (30.3)
и введём вместо у' независимую переменную 0 из равенства
y'=y — jV(X—x')2 — &Z2 COS0.
Так как
dy’ = j V(x~ x' f — k2z2 sin 0 db
(x — xrf — k2 [(y — y')2 + z2] = sin2 0 [(x — x'f — k2z\ получим:
? ' ? ',y-Ur{x-xy-k
Ф '(x,y.z)= f j -------------
- dbdx'. (30.4)
276 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. t
Дифференцируя (30.4) по параметру z и полагая затем z — 0, придём к
соотношению (30.2).
Можно отметить четыре характерных положения ветви гиперболы, составляющей
границу области интегрирования в выражении (30.1):
1) ветвь гиперболы лежит целиком вне крыла (кривая I, рис. 102);
2) ветвь гиперболы пересекает крыло, но так, что точки А и С остаются вне
области интегрирования (кривая I); 3) ветвь гиперболы пересекает крыло, и
точка А (или С) находится внутри области
интегрирования, но точка В (и D) находится вне области интегрирования
(кривая III); 4) ветвь гиперболы расположена так, что А и В (С и D)
попадают внутрь области интегрирования.
В случае 1) точки области интегрирования потоком не возмущаются. Мы имеем
здесь
Ф'(х, у, z) — 0.
В случае 2) подынтегральная функция из (30.1) будет известна всюду, и
точки области интегрирования все лежат на крыле; если уравнение
поверхности крыла
г = С(*. у),
то по (28.23) и (30.2)
с(х. = (30-5)
В случае 3) область интегрирования будет частично выходить за пределы
крыла (часть плоскости между линией АА' и контуром крыла); здесь принято
говорить о влиянии «концевого эффекта».
§ 30] СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 277
Функция с(х, у) будет и здесь определяться с помощью (30.2), однако
теперь с будет заранее неизвестна в тех точках области интегрирования,
которые лежат вне поверхности крыла. В случае 4) область интегрирования
заходит за пределы крыла ещё и в вихревую пелену; здесь говорят о влиянии
«вихревой системы за крылом». Как и в 3), функция с будет заранее
неизвестна в точках области интегрирования, находящихся вне крыла.
Чтобы решить задачу в случаях влияния концевого эффекта и вихревой
системы, поставим краевые условия. Но прежде чем это делать, обратимся к
описанию формы поверхности крыла.
До сих пор мы не определяли вид поверхности крыла. Предположим, что
поверхность верхней (z > 0) части крыла представлена уравнением
г = Св (х, у), (30.6)
а поверхность нижней части крыла имеет вид:
г = (х, у). (30.7)
Рассмотрим два типовых случая: а) случай крыла, симметричного по
отношению к плоскости z = 0; здесь Св(х, у) =— Сн(х, у) и
6) случай крыла нулевой толщины; здесь Св(х, у) —?н(х, у). Легко видеть,
что общий случай может быть сведён к рассмотрению этих типовых случаев.
Действительно, пусть крыло задано уравнением (30.6) и (30.7). Составим
комбинации
5(*. У) = Кв(*. У)—Сн(х, у)] у] т] = [ Св(х, у) + Сн(х, у)] у (30.8)
и решим задачу обтекания, симметричного по отношению к плоскости z ~ 0
крыла с уравнением поверхности
*в = 5(*. У). *„ = — ?(*. У). (30.9)
а также задачу обтекания крыла нулевой толщины с уравнениями поверхности
= •»!(*. У). 2н = “»)(•*. У)- (30.10)
Так как ?-|~т) = Св, tj — ? = и так как наша задача линейна, то,
складывая решения, отвечающие крыльям (30.9) и (30.10), мы получим
решение, отвечающее задаче обтекания произвольного профиля
(30.6), (30.7).
Перейдём теперь к формулировке краевых условий задачи.
В случае крыла, симметричного относительно плоскости z = 0, естественно
считать, что скорости вдоль оси z антисимметричны по отношению к
плоскости z — 0. Тогда для всех точек плоскости г = 0 вне поверхности
крыла мы должны будем считать
278
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Таким образом, в формуле (30.1) надо просто положить с = 0 во всех точках
вне крыла и определить с по формуле (30.5) в точках, отсекаемых на крыле
