Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
(29.12)
'cos 6'; y' = ~b-
? г' sin S';
и для области IV получим:
Ъу(х- У? *) = — -jj-X
(29.13)
‘) Мы видим, что 7 действительно похоже на циркуляцию, ибо
5 т ПОТЕНЦИАЛ УСКОРЕНИЯ. ТЕОРЕМА ПРАНДТЛЯ - ГЛАУЭРТА 269
Здесь гх — наименьшее из тех двух значений гх и г2, которые обращают
подкоренное выражение в формуле (29.13) в нуль. Эти значения суть
кл/~Гх sin 8' — (4 у ) cos 0'j2 + x’(cos’0'- ft* sin’ 8')
+ -2-1------------ cos’ 8' -ft* sin*V--------------* (29Л4>
причём верхний знак отвечает случаю гх, а нижний — случаю г2. Для того
чтобы выполнить дифференцирование по г в (29.13), удобно перейти к новому
переменному \ из соотношения
* = / '0F-
Мы получим сперва:
У- *) =
в'=я/2 О
—*4 / т(«
?'-в. уъ
V/v(x> У’ г) =
_Vi едя/2 т(е,)ул^-*2[(4-у)2+г2]^'
2% б'_е0 ?х sin 8' — cos 0']2 + г’ (cos’ 0' — ft’ sin’ O')
(29.15)
Заметим, далее, чтоJ)
________________________________________dT_______________________________
_______ _
________________1 <-*2 ~ k*zt) ‘g 9' - x (|— >)
!) Это преобразование было дано Фальковичем. Первое применение теории
Прандтля принадлежало Шлихтингу, но его рассуждения оказались неточными.
Дальнейший подсчет ведётся здесь по Фальковичу.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
v I I (•**——
Viv{x, у, т(60arctg ? .... J2 ?
Г (jcl *2g2)tg6/ *U~yr9'
J M, arc Tg — ------------- -----
V <*?-*?«’>-‘44-»)
Нам надо положить у(60) = 0. Кроме того, во всём интервале от 0' = aj до
0' = тс/2 мы должны принять f == const. = т0. Таким образом мы получим:
tpIV (х, у, z) =
-ilL *_ Г rfT(6° а
2тс) То 2 J М' d
(29.16)
~дх~=Т[~дг' <29Л7>
Но дифференцируя (29.9) по х, мы получим ((3 —const.)
и, значит, вследствие (29.17),
(?),.,=°-
Таким образом, нам достаточно продифференцировать (29.16) по г,
подставить г = 0 и приравнять полученное выражение нулю. Производя эти
несложные выкладки, получим после сокращения:
§ 29] ПОТЕНЦИАЛ УСКОРЕНИЯ. ТЕОРЕМА ПРАНДТЛЯ - ГЛАУЭРТА 271
Это однородное интегральное уравнение для определения df (0)/d0 примет
особенно простой вид, если ввести в качестве переменной интегрирования
величину
“ ' “ (29.18)
Мы получим тогда
где Y означает дифференцирование по аргументу ft, a &o = /Hg0o. Это
уравнение имеет решение!)
= — -с‘ (29.21)
йЭ К(1-»)(»-0о) где Ci — произвольная постоянная.
Производя интегрирование, получим:
Т (») = Ci arc sin 2.1^+М + c2t (29.22)
где с2 — новая постоянная интегрирования. Для определения сг и с2
вспомним ещё раз, что
Y(ft0) = 0, т(0 = То-
Тогда получим окончательно:
Ц»0=Ь,ксо,-8«. + ^.-;18Г. (29.2Э)
Зная y, мы можем без труда подсчитать силы, действующие на наше крыло.
Подъёмная сила Z складывается из трёх частей: Z2 (в области 2), Z3 и Z4
(Z3 — Z4); при этом
z2 = Pi^iTo X площадь ABOF — p^^W (l — -~),
Z3 = Pi®i f J ir' dr' db' ~
= m,,f
•> « —•* Vib — eua — d\
272
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Если обозначить
j- f 4(b)db = K,
Z = Z2+Z8 + Z4=Pl«lToW{ 1 —(1 Если вспомнить определение (29.12) для f0,
поделить Z на р^/2 и на площадь t(b — tig б0) крыла, получим для
коэффициента С2:
<=4/
Этот интеграл сразу же вычисляется и даёт:
Таким образом, окончательно мы получаем Сг в виде: t l + *tg6„ t
Сг = — -ip-----------—т-У-. (29.27)
l-tge.T
Что же касается сопротивления X, то его можно рассчитать, как интеграл,
распространённый на всю площадь крыла от выражения p^iTP, т. е. это
будет:
* = — PiWjToFw {1 —0 —Ю-ш]'
Связь между Сх и Cz получится при этом в вид 1
С*~ 4 tg а, 1_(1_К)И tga, С где К по-прежнему даётся при помощи (29.16),
§ 30j СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 273
Поляры, отвечающие 0О —О (прямоугольная пластинка) при значениях tjb = 0;
’/5 и V2 для — 2,0; 3,0, нанесены на рис. 99,
В этом и предыдущем параграфах мы рассмотрели лишь простейшие случаи
решения линеаризованной задачи.
В следующем параграфе мы изложим общий метод получения решения для
произвольного тонкого крыла.
§ 30. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла конечного размаха
произвольной формы в плане. Концевой эффект и вихревая пелена. Обратимся
теперь к общему случаю сверхзвукового обтекания тонкого крыла с острыми
кромками. Как и в предыдущих параграфах, считаем крыло мало наклонённым к
основному сверхзвуковому потоку и рассматриваем линейную задачу.
Исследование этой задачи для случая произвольной формы крыла в плане дано
в работах Е. А. Красилыциковой, а также в работах К. И. Бабенко, Уорда
(Ward) и др. Дадим изложение, следуя Красилыциковой.
274
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Для простоты изложения остановимся на случае, когда угол наклона
касательной к контуру крыла меняется монотонно как для передней, так и
для задней кромки крыла (рис. 100). Пусть уравнение передней кромки крыла
(снесённого на плоскость z — 0) будет лг=Цг(у) (уравнение дуги BOD, рис.
100). Уравнение задней кромки пусть имеет вид a:=W' (у). Перемещаясь
вдоль передней кромки от 0 к В (или от 0 к D), мы будем встречать все
значе-ния |^"| от 0 до °°- ПУСТЬ в точке А (С) окажется |-^ | === ctg о^.
