Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
равенством
^шах—^ \у (8.2)
s й ПРИМЕРЫ 711
Наша формула связывает три величины vxmix, т0 и у,. Прандтль') предлагает
далее принять, что так как слои жидкости, в которых проявляется трение,
должны быть одинаковы, то vr, должно быть
кратным |/ -у , т. е.
= у. (8.20
где р есть уже некоторая постоянная, каковую надо найти раз навсегда из
эксперимента. Но тогда (3.6) даст:
= |p + i(lnf-l)}. (8.3)
причём здесь y1 = ^-vxl = \/~ — Bv.
Введём теперь вместо vxmzx и т0 «коэффициент сопротивления» \т,
отнесённый к максимальной скорости vx max,
1 — 4т0 2 ’
max
и число Рейнольдса Rm, отвечающее vxmax:
R^x max d in v
Мы получим тогда, вместо (8.2), после простых преобразований:
) _ 4k?
(In Rm VTm 4" г)2
где
C = k$— 1 — In p.
Сравнение этой формулы с опытами Никурадзе, Шиллера и др. дало очень
хорошие результаты для значений ROT, доходящих до 1,8- 106. При этом
оказалось, что ? = 0,44 (по Карману 0,36), С = 2,83. На рис. 198 по
горизонтальной оси отложены значения а по вертикальной оси — значения
Точками изо-
бражены данные эксперимента.
Желая учесть шероховатость стенки, обратим сперва внимание на величину I
из формулы (7.3). Пользуясь формулой (7.3) и выражая vx по закону
Кармана, мы получим:
( = 2м[/ПГ|_(,_2)]
') См., например, Прандтль и Титьенс, Гидро- и аэродинамика, т. II, 1935,
стр. 93.
712
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
и, следовательно, при больших d и малых у:
Ittky.
Так будет обстоять дело при отсутствии шероховатости. Шероховатость
действует в том смысле, что I оказывается отличным от нуля на поверхности
у = 0 (так же как и средняя скорость).
Чтобы это описать, поместим начало координат не на поверхности стенки, а
под стенкой на уровне у — — e(s — размеры шерохова-
тости), и для новых вертикальных координат у, напишем I; (уг = у -f-e).
Очевидно, будет по-прежнему:
1
-kyx
м.»,)- V 'i
р k
In у, const.,
и мы напишем вместе с Прандтлем
ъ 1п~;
р * V
(8.4)
здесь у0, как это установлено из наблюдений над некоторыми шероховатыми
поверхностями, будет
?У°~30'
Формулу эту мы применим к построению турбулентного пограничного слоя,
получающегося при движении вдоль пластинки (здесь первая пластинка
остаётся при у = 0, а вторая отодвигается очень далеко). Над пластинкой
образуется турбулентный слой неизвестной
ПРИМЕРЫ
713
нам высоты о (не смешивать с ламинарным пограничным слоем). Над этим
пограничным слоем пусть скорость имеет постоянное значение V (8). Тогда
по (8.4) можно написать у самой пластинки
причём значение т0 добавочного напряжения у самой пластинки будет
Обратимся к общим уравнениям (5.1) для осреднённого движения и,
пренебрегая влиянием вязкости, напишем первое из уравнений для нашего
случая плоской задачи со стационарным средним потоком:
Проинтегрируем обе части нашего уравнения по у от у0 до границы 8
турбулентного слоя. Вследствие уравнения неразрывности
У)
Таким образом, получаем (Рху (8) == 0, так как Рх на границе
турбулентного слоя равно нулю):
Чтобы выполнить интегрирование, заметим, что мы ищем скорости vx в виде
(8.5), причём vx может зависеть от х через посредство 8
>) Добавочное напряжение Рхх включается обычно в давление р; градиент
выражения —РРХх вдоль оси х считается, как всегда в подобных задачах,
отсутствующим.
46 Теоретическая гидромеханика, ч. II
(8.5)
(8.6)
дР
имеем:
5
4- f Vx^ dy ^ vx (8) vy (8) + J vx^ dy,
причём
(8.7)
. (8.8)
714
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
(нарастание пограничного слоя вдоль пластинки). Мы поместим начало
координат у самого края пластинки (8 = 0) и ось х направим вдоль
пластинки. Как мы сказали уже, вне пограничного слоя всюду существует
поток с постоянной скоростью V, параллельной оси х, так что vx (8) = V —
const. Тогда
In-У-
I/ У0
In
»(-*)
У о
Уравнение (8.8) даст нам возможность найти 5(х). Замечая, что
О S б
I"
to*
х дх
dy -
Уо
^ = —27 j v^V~v
Уэ
, » In— /
=—4~ fv—1
dxJ In-M
I dy-
Уо
in-У-
УоУ2
dx
In
Уо
Уо + 1
Jo
Уо I
Уо
и заменяя т0 по (8.6), получим, производя дифференцирование (k принято
равным 0,4):
Уо
X
у7
0,16 In -
Уо
, Ь (. ь In— In — Уо V Уо
Уо \
Чтобы найти 8 = 5(х), остаётся проинтегрировать это уравнение*
Вводя в качестве вспомогательного переменного In —, получим:
Уо
?-‘Ж-4) +
оо
+4 V ‘(in-i-YU
—J n-nl \ у0 /
/1=1
: 0,16— . Уо
рис jgg Кривая 8 = 3 (х) изобра-
жена на рис. 199.
В качестве второго примера на применение соотношения (7.3) рассмотрим
задачу о смешении широкого однородного потока воз-
ПРИМЕРЫ
715
духа, бегущего со скоростью vx = v — const., т;у = 0, с окружающим его
спокойным воздухом. Так как здесь речь идёт о свободной турбулентности и
стенки отсутствуют, то нам нельзя будет ориентироваться на Рх как на
известную величину. Напротив, величина I, о которой мы уже имели случай
говорить, может считаться здесь
пропорциональной ширине той зоны, в которой существует турбулентность ’).
Зону эту примем ограниченной лучами, исходящими из начала координат (рис.
