Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
ПУТЬ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ И МЕТОД ПОДОБИЯ
707
рости vx, равные vx-\. Но тогда
, „ dvx
v —I ,
?* ду
и добавочное напряжение Рху — — pv'xv'y будет
(7-0
Введём затем среднее значение абсолютных величин \1' \ и назовём его I.
Предположим вместе с Карманом, что внутренний механизм турбулентности во
всех местах жидкости имеет один и тот же характер и может отличаться
только масштабами длины и времени. Иначе говоря, мы предположим, и это —
основная гипотеза Кармана, что турбулентные движения в различных частях
жидкости между собой подобны. Если нам было бы известно, от каких
гидродинамических элементов зависит величина I, мы могли бы теперь,
пользуясь соображениями, изложенными в главе второй, пытаться найти вид
зависимости I от этих элементов. Предположим же, и в этом заключается
вторая гипотеза Кармана, что в выражение для I не входят третьи
производные от vx по у, так что I может зависеть от р, dvjdy, dfvjdyi (мы
исключаем возможность зависимости от ибо, прибавляя к vx всюду постоянное
число, мы, очевидно, не изменим картины явления). Итак, пусть
Z=Z(p, vx, vx),
где
— ___ dvx — ______ d2vr
x dy ’ * dy2
Введём новые единицы длины, времени и массы соответственно в L, Т, М раз
ббльшие старых единиц. Тогда, обозначая численные значения всех
рассматриваемых величин в новой системе единиц через
lv pj, vxl, ... соответственно, будем иметь:
/_// п — — п d^x_ 1 dvx 1 d2vx __ 1 d2vxl
l — ult , /3ll, dy — T dy^ , dy2 — TL a^ .
Поэтому наша предполагаемая зависимость примет вид:
I/1==zf4Pl, -1 d~v*' 1 d2~vх'
If 1 T dyx TL dyj
') Выражение — yv'l' имеет размерность р и аналогично этому коэффициенту.
Ср. также с мерой обмена, введённой в предыдущем параграфе.
708
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
С другой стороны, должно быть в новой системе единиц:
; __ 7 /„ d2vxi
1 г Ж'
так что (мы отбросим значок «1»)
l Т ’^х) == ^х' ^х)-
t At 1 rjy dv х it'
В этом тождестве положим ^з = у, I = , LI *=vx\ тогда полу-
чим равенство
Z(P, %х, vx) = ]-Z{М. 1) = -57/-^const*
Таким образом,
l=kwl^- (7'2)
где k есть постоянная, каковую надлежит определить из эмпирических
данных.
Зная выражение для /, без всякого труда найдём выражение для Рху.
Считаем, что последнее может быть функцией от /, р, vx, г»л.:
Pxy = F(?' 1• vx> vx)-
Тогда введём
= Ч = фь Р, = ЙР- (%\ = ТФ)-
(Г,,), = ^ (jl РкДА' У г'л. ? У y^.ll "j •
так что
At LT2
С другой стороны,
(Pxy\ = F(?V lV Vxv Vxl)
и, следовательно (отбрасываем значки):
„ /'At .,1— 1 ~ \ с / I ~ ~ ч
\?зР’ ~Y^x> ~ifVx] ~[/Г* г,д’ ^ЛГ^‘
Наконец, полагая
At 1 , 1 ^ -
Гз = 7’ ^ = мы придём к соотношению
F(р, /, ^) = р^Л 1, 1, /_?Л.
§ 8} ПРИМЕРЫ 709
Но вследствие (7.2)
I PL = const., vx
и мы приходим к важной формуле
<7-3>
Формула (7.3) была установлена впервые Прандтлем, который, исходя из
выражения (3.1), нашёл
1 1 dy
Пользуясь (7.2), можем переписать (7.3) в виде:
рху = 62Р -nf- • (7.4)
vx
§ 8. Примеры. Формулу (7.4) применим к изучению турбулентного движения
между двумя гладкими параллельными стенками (у = 0, у —2d). Напишем
теперь уравнения (5.1) для осредненного движения, считая, что средние
напряжения, так же как и vx, зависят лишь от у и что сила отсутствует, а
г;у = 0. Получим, очевидно:
дР~ дРху
дх “ ду ’
откуда заключаем, что в нашем движении Рху есть линейная функция от у.
Вместе с Карманом положим, что при
считая, что Рху обращается в нуль на середине расстояния 2d между
стенками, а при d^y^.2d
Рху = — хо({ — y)>
где т0 — добавочное напряжение около самой стенки (точнее на границе
ламинарного пограничного слоя, имеющегося внутри нашего турбулентного
слоя). Но тогда (7.4) даст нам дифференциальное уравнение второго
порядка, из коего можно найти vK (у):
*©*-(?-т
') Мы положили (1, 1, 1, k)= 1; это можно сделать, выбирая I должным
образом.
710
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. ш
или
откуда
’• jA
± \/ ?> |А 1 _
1-JL
-j- const.
Полагая const. = 2kd |/ (при y = 0, vx — oo), получим:
Vx ~ V~f 'Idк
У_
(выбираем знак минус, чтобы vt убывало с возрастанием у), интегрируя ещё
раз, придём, в предположении, что
25
20
15
10
о
Ось канал ! Стенка \
С
ЛтахЧс Чу
vx(d)-.
к формуле Кармана:
/?
In
1 —'
-/i
О 0,5
Рис. 197.
W
(8.1)
Формула (8.1) Кармана даёт, как мы уже отмечали, хорошее совпадение с
данными эксперимента. На рис. 197 изображена кривая (8.1).
Граница между областью, где эта формула применима, и пограничной
областью, где даёт себя знать вязкость («ламинарный подслой»),
определяется значением у — ух, при котором
— ух (внутри ламинарного слоя ско-И1
Jx\'
рость считаем меняющейся по линейному закону, причём там т0 — jj. dvjdy).
Если бы мы знали величину т0, то, вставляя значение vx — vxl в левую
часть (8.1) и значение у = ух в правую часть, мы нашли бы, при данном
vxmax, ух, т. е. толщину ламинарного пограничного слоя, погружённого в
наш турбулентный слой, при этом (8.1), поскольку речь идёт о точках,
лежащих очень близко от стенки (у^О), можно заменить приближённым
