Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
i , в
О • А
I
Примем теперь l = t —10. Тогда J vz (?) d\ ~ С — z0 представит вер-
о
тикальное уклонение частицы от её первоначального положения в некоторый
момент t, и мы придём к статистическому закону распределения уклонений
С,— 20:
(С - Z„V
ф(С, Л =---- ------------------------ Р 2с* U-to)
cV2x(t-t0)
Непосредственным дифференцированием убеждаемся, что 9 удовлетворяет
уравнению
(?? с2 д2<р
dt 2 dC2
Заметим, что величина с будет, вообще говоря, разной для разных частиц.
Предполагая турбулентность однородной, можем, однако, считать, что с для
всех частиц одинаково. При этом условии осреднение по большому промежутку
времени, применённое к смене составляющих скорости одной частицы-, может
быть заменено осреднением
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
705
уже не по времени, а по массе — для всей совокупности частиц,
содержащихся в рассматриваемой массе. Можно тогда сравнить
С2
наше уравнение для ср с уравнением Фикка (6.2) и написать ? = — . Мы
придём таким образом к формуле:
СО
k = v'l J R (т) dz,
о
а это и есть выражение, предложенное Тейлором для меры рассеяния.
Мы уже говорили, что приведённое здесь рассуждение можно отнести лишь к
тому случаю, когда турбулентные процессы происходят достаточно однородно
внутри достаточно протяжённой во всех направлениях массы, т. е. когда
речь идёт об однородной турбулентности. В том случае, когда имеется
турбулентность, так сказать, разных масштабов (как, например, это имеет
место в земной атмосфере), процесс турбулентного рассеяния будет
существенным образом зависеть от размеров области, занимаемой
рассматриваемой примесью. Чтобы пояснить эту мысль, посмотрим, как будет
рассеиваться дым в свободной атмосфере. Представим себе две молекулы
ацетилена, находящиеся на расстоянии 10 J см друг от друга; по истечении
одной секунды они, подвергнувшись действию молекулярной диффузии,
разойдутся, но всё ещё будут друг от друга на расстоянии порядка 101 см.
Совсем иная судьба постигнет две молекулы ацетилена, находящиеся на
расстоянии 105 см — 103 м друг от друга; здесь появляется диффузия
турбулентная (порывистость ветра), наши частицы могут быть подхвачены
разными порывами ветра, так что через секунду расстояние между ними может
измениться на несколько метров, а не на величину порядка 101 см—10 5 сляй
101 см, как это и было в первом случае. Иначе говоря, такая существенная
величина, как скорость расширения «диффундирующего» в турбулентной среде
облака, будет меняться по мере того, как облако будет «жить», ибо «живя»,
облако всё время увеличивается в размерах и, следовательно, попадает в
сферу влияния всё новых и новых вихрей.
Ричардсон предложил учитывать этот эффект, полагая k функцией диаметра
области, и получил на основании эмпирических данных следующую
зависимость:
k (d) — cd4\
где ^ — диаметр области, с — постоянная. Эта зависимость была
теоретически обоснована А. М. Обуховым в работе: «О распределении энергии
в спектре турбулентного потока»*).
') Изв. АН СССР, Серия геогр. и геофиз, 1941, 4—5.
706
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
ГГЛ. !И
Мы рассматривали случай перемешивания, происходящего в одном направлении.
В общем случае вместо величины k из (6.4) нам придется ввести «тензор
рассеивания». Именно, вводя «исходные» координаты а, Ь, с частиц
(координаты в момент tQ) и координаты х, у, z этих же частиц в момент t,
можем построить шесть величин:
Ь _ (х—а) (х—а) _ (х—а){у—Ь)
кхх 2{t—ta) ' кху— 2(t—t0) .....
_ (z—c)(z—c)
2{t—t0)
(с этой точки зрения наше k равно k2Z)\ аналогично этому можно получить:
(х—а) (х—а) . (г-су
^хх — Р 2 (t—tD) zz~v 2(t—t0) '
Тензор с компонентами Ахх, .. . , Агг представляет обобщение вве-
дённого Рейнольдсом тензора добавочных напряжений и впервые введён
Келлером ').
В. ДОБАВОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
§ 7. Путь перемешивания и метод подобия. В этом разделе мы приведём вывод
нескольких наиболее важных формул, связывающих добавочные напряжения со
средними значениями гидродинамических элементов, а также дадим некоторые
приложения этих формул. Мы начнём при этом с введённого Прандтлем понятия
«пути перемешивания».
Представим себе плоское турбулентное движение, которое происходит в
среднем в направлении оси х и в котором средняя скорость vx
существенным образом зависит лишь от координаты у. Наи-
более существенным из добавочных напряжений является здесь Рху = —
Pv'xvy' Чтобы представить его выражение иначе, Прандтль вводит некую
характерную длину — «путь перемешивания», играющую ту же роль, что и путь
пробега молекулы в кинетической теории газов. Если обозначить через V
различные пути перемешивания, т. е. различные расстояния от той точки М,
где мы вычисляем величины v'xv', до тех точек, из которых приходят в
точку М различные частицы жидкости (например, если говорить об осреднении
по времени), то частицы, приходящие со скоростями vy, будут иметь ско-
‘) См. об этом Келлер Л., loc. cit.
