Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 175

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 169 170 171 172 173 174 < 175 > 176 177 178 179 180 181 .. 183 >> Следующая

для молекулярной диффузии; поэтому в английской литературе по
турбулентности оно называется уравнением Фикка. Вывод его, так же как
способ нахождения (см. ниже), мы заимствуем из главы Келлера по
атмосферной турбулентности в книге «Динамическая метеорология» под
редакцией Извекова и Кочина, ч. II, 1936.
702
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[гл m
где интеграл взят по элементу df площади /, достаточно большой и
расположенной в плоскости (х, у).
Величину эту можно выразить через k. Чтобы это сделать, заметим сперва,
что, рассматривая частицы, лежащие в момент t0 на уровне z0 или, точнее,
в слое от z0 до z0-{-dz0, как примесь, и предполагая, что они к моменту
времени t разбросаются по различным уровням г от—оо до оо, можно
применить интеграл (6.2) (вернее один элемент этого интеграла, ибо a (z0,
tQ) сосредоточено у нас на элементе dz0) к определению того количества
наших частиц, которое попадает в момент t на уровень z\ на единицу
площади их будет
Но теперь, вместо того, чтобы вычислять интеграл (2.18) интегрированием
величины (С—д0)2 по площади, мы можем разбить вычисление (6.3), беря
сперва для каждого z nz(f — z0)2, умноженное на соответствующую площадь,
а затем, интегрируя это по с от — оо до-)-оо (частицы распределятся, по
предположению, во всём промежутке от — оо до -j- оо). Но тогда получим:
Интеграл в правой части вычисляется и даёт 2k {t—t0). Отсюда
Таким образом, нами найден гидродинамический смысл величины k. Имея в
виду этот смысл, величину k называют мерой рассеяния. Одновременно с k
часто вводят ещё величину А = рй, где под р разумеется средняя плотность;
величина эта носит название меры обмена.
Размерность А совпадает с размерностью коэффициента вязкости р.,
размерность же k будет L?(T, что совпадает с размерностью кинематического
коэффициента вязкости v.
Покажем ещё, как можно иначе выразить величину k. Пусть по-прежнему
перемешивание происходит лишь в направлении z, сосредоточим внимание на
одной какой-либо частице и будем обозначать значения её скорости в
моменты времени t через vz(t). Следуя Тейлору (loc. cit.), привлечём к
рассмотрению коэффициент корреляции (или момент связи) между значениями
vzif) и vz(^ —f— т), где т рас-
(Z-Zp)»
е p0dzQ,
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
703
сматривается как произвольный постоянный параметр, и выразим k через этот
коэффициент. Строгий вывод был дан Л. Келлером '). Мы укажем лишь путь
получения строгого вывода, отсылая за подробностями к статье Келлера.
Вместе с Келлером подчиним v2 следующим четырём требованиям. Предположим:
1) что существует предел для среднего значения vz{t) при увеличении
интервала осреднения до бесконечности, и этот предел равен нулю (мы
считаем, что у нас нет среднего переноса, а есть лишь турбулентное
движение, так что т»г = 0); 2) что существует предел при увеличении до
бесконечности интервала осреднения, для среднего значения vz(tf и, более
обще, для среднего значения выражения
vz(t)vz{t-j-т); эти пределы будем обозначать v 'г (tf и vz (t) v'z (t -)-
т) соответственно (на основании свойства 1 можно положить vz = vz)',
3) что по мере того, как мы будем увеличивать интервал изменений t до
со величина Я [a <Cvz(t) < 3], равная вероятности того, что vz(t)
заключается во взятом интервале изменения t между аир, стремится к
какому-то определённому пределу; 4) что если через Я(т) обозначить
коэффициент корреляции между v,{t) и vz it -)- т);
интеграл I R(x)dz имеет определённое конечное значение (мы харак-
теризуем турбулентное движение как неупорядоченное, а в таком случае
естественно потребовать, чтобы корреляция между vz(t) и vz{t-\-i) при
возрастании т дальше некоторого предела быстро стремилась к нулю).
Рассмотрим затем некий, конечной длины I, интервал оси t и обозначим
среднее значение от vz(t) в этом интервале через vz{t, 1)\
отлична от нуля. Можно теперь доказать следующую теорему2): вероятность Я
(а < vz(t, /) < ?i) существования неравенства а < vz(t, I) <3
?) Келлер Л., Распространение предельных теорем теории вероятности на
интегралы и средние значения функций сплошного аргумента, Труды Главной
географической обсерватории, вып. 4, 1935. Далее, статья Келлера по
теории турбулентности, из книги «Динамическая метеорология».
2) К е л л е р Л., loc. dt. Теорема эта является обобщением на случай
функций сплошного аргумента известной предельной теоремы теории
вероятности, применяющейся обычно к дискретной последовательности
случайных величин.
/?(*) =
*>'г (О Vz (t + т)
СО
0
Величина vz(t, I) будет, вообще говоря,
704
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
(ГЛ. Ill
при увеличении I к со стремится к выражению:
;Ч КТ
1 Г -yf .
= I е 1 drj,
71 J
V2-
а V /
где
J СО
c = l/ 2< / Я(т)Л.
i
Рассмотрим, в частности, осреднение вида — j“ vz(t)dt. Имеем:
г 1 \ С У I ^
А < f vz(t)dt< в) ~ / е" 2 '?
о в
с V I
-.1 ,7
dr
с У I
а если перейти под знаком интеграла справа от переменного rj к
переменному и — 7) с УI, то получим
Предыдущая << 1 .. 169 170 171 172 173 174 < 175 > 176 177 178 179 180 181 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed