Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
осреднять произведения уже не двух, а трёх функций. Эта новая гипотеза
сводится к приближённому соотношению = 0, где, как и
прежде,
/j = /j — /1 и т. д. После того, как система уравнений построена,
надлежит ещё проверить независимость отдельных уравнений системы.
2) К а г m a n and Н о w а г t h. On the statistical Theory of Isotropic
Turbulence Proc. Roy. Soc. 164, (1938) № 917, стр. 192—215.
3) Миллионщиков М. Д., Вырождение однородной изотропной турбулентности в
вязкой несжимаемой жидкости. ДАН СССР, 26 (1939), № 5, стр. 236—240; Л.
Г. Л о й ц я н с к и й. Некоторые основные закономерности изотропного
турбулентного потока, Труды ЦАГИ, № 440, 1939.
См. также Седов Л. И., Методы подобия и размерностей в механике,
Гостехиздат, 1957.
4) Richardson, Atmospheric diffusion on a distance neighbour graph.,
Proc. Roy. Soc. London (A), 110 (1926), стр. 729—757. Taylor G.,
Diffusion by continuous mouvements, Proc. Lond. Math. Soc. (2), 20, 1921.
45*
700
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
дуальных частичек и, таким образом, позволяет ближе подойти к изображению
процесса «перемешивания» (Austausch, Conductivity). Выведем уравнение
перемешивания какой-либо субстанции, расположенной в среде, находящейся в
турбулентном движении. Вместе с Тейлором и Шмидтом ограничимся
рассмотрением перемешивания только в одном направлении (назовём его z).
Относительно субстанции, подверженной перемешиванию, предположим, что
она: 1) не-уничтожима, т. е. сохраняется в некотором элементарном объёме
жидкости, пока тот движется, не смешиваясь с другими; 2) сохраняется при
смешении двух масс. Обозначим количество субстанции в единице массы
жидкости через s. Под самой субстанцией можем разуметь либо какую-нибудь
примесь к жидкости (пыль, например), либо какую-нибудь физическую
характеристику самой жидкости (например, её количество движения в
направлении, перпендикулярном к оси z, запас её тепловой энергии).
Предположим ещё, что субстанция распределена приблизительно равномерно в
направлении оси, перпендикулярной к оси z (например, л; и у), но
равномерность эта имеет статистический характер: именно, выбрав
достаточно большую площадь, перпендикулярную к оси z, и осреднив s по
этой площади, получим уже величину, не зависящую от положения центра
выбранной площади (не зависящую от х и у):
Введём затем плотность субстанции о=ps(р—плотность жидкости)— количество
субстанции в единице объёма. Естественно теперь принять, что средний
поток субстанции через плоскость z — const, будет пропорционален проекции
градиента <з на ось z; пусть это будет
где k — некоторый положительный коэффициент пропорциональности (если бы
было k < 0, то мы имели бы дело не с рассеиванием, а с концентрацией
субстанции). Сравнивая поток субстанции на уровнях z и z-\-dz, находим
прирост субстанции за единицу времени:
Мы видим, таким образом, что плотность субстанции удовлетворяет,
независимо от механизма турбулентного перемешивания, диф-
') На основании второго постулата а не теряется и не появляется в
элементе dz само по себе.
s {х, у, Z, t) — s (z, t).
(6.1)
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
701
ференциальному уравнению (6.1). Трудность заключается в определении
коэффициента k ’).
Желая определить k, заметим прежде всего, что если субстанция переносится
жидкостью пассивно и своим присутствием на движение существенно не
влияет, то величину k естественно считать не зависящей ни от рода
субстанции, ни от её мгновенного распределения; k определяется
исключительно состоянием неупорядоченного турбулентного движения
жидкости. При данном движении рассеяние любой субстанции описывается
одним и тем же уравнением (6.1).
Предположим, что k не меняется ни в пространстве, ни во времени (это —
статистическая характеристика некоторого состояния движения). Рассмотрим
также ещё случай, когда р = const. Тогда (6.1) обращается в простое
уравнение теплопроводности, и мы можем написать решение его в виде:
ОО
_ 1 Г <г-^о)2
a(z, t) —-----~....... . / е 4*('~*о) о (zQ, t0) dz0, (6.2)
2 у r.k (t —10) J 0 0 0
— CO
где о (z, t0) представляет среднее распределение плотности субстанции на
уровне с в момент времени t~t0. Мы видим, что турбулентность действует
на начальное распределение a (z0, 70) по высоте z0
как сглаживание со сглаживающей функцией
ш(;) =--------- - р. 4* {<—^0).
2 V*k{t-t0)
Мы уже говорили выше о сглаживающей функции такого типа (формула (а), §
4).
Возьмём теперь некоторый уровень z0 и посмотрим, какая судьба постигнет в
момент t частицы жидкости, лежавшие в момент t0 на уровне z0. Обозначая
через С(х, у, t) значение z для разных точек нашего уровня в момент t,
мы, очевидно, должны иметь, на основании самого определения
турбулентности,
(,(х, у, t) — zQ — 0.
Рассчитаем, однако, величину
(С-*„)* = |/ (С -z0fdf (6.3)
?) Уравнение (6.1) по своему обоснованию тесно примыкает к аналогичному
уравнению, построенному Фикком (F i с k, Ann. Phys. Chem., 1885, т. 49)
