Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
1) поток кинетической энергии осреднённого движения через границы,
2) работу внешних сил, 3) работу, совершённую на границе средними
напряжениями ххх, ... и средним давлением, а также добавочными
напряжениями.
Напротив, в уравнении (5.9) надо будет добавить лишь члены, зависящие от
конвекции энергии турбулентного движения через границы области (х).
Обращаясь к случаю сжимаемой жидкости, запишем уравнения движения, вводя
вектор количества движения (с компонентами mx=rjvx, my = [)Vy, mz — pvz)
и принимая во внимание уравнение неразрывности
Произведём теперь над правыми и левыми частями всех четырёх уравнений
сглаживание с одной и той же сглаживающей функцией (например, осреднение
в одном и том же интервале), удовлетворяющее трём перечисленным выше
условиям. Уравнение неразрывности даст, на основании условий 1 и 2:
в виде:
dmz
~дГ'
dm?
dt~ ’
дм у дс
I dmz о
dt дх ' ду дг
Выпишем первое из уравнений движения:
45 Теоретическая гидромеханика, ч. II
698 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ |ГЛ. Ill
Обратим внимание на выражения типа vxmx. Имеем:
= («. 4- <)(«, + т'х) = vxmx + vxm'x •+ v'xmx + v'xm'x или, вследствие
свойств 3:
v т = v т -4- т/ т'.
XX XX' X X
Если пульсациями плотности можно пренебречь (р' = 0)р = р (это, по-
видимому, имеет место в атмосферных движениях), то для добавочных
напряжений мы получим те же выражения, что и в случае несжимаемой
жидкости; е самом деле, здесь
тх = PVX = PVx = Р vx ^ р-их
и
«X = Vx К - "Л.) = К ~ = Р<2-
Построив уравнения для средних величин, мы сталкиваемся с дилеммой, либо
поставить шесть новых величин — добавочные напряжения — в зависимость от
старых величин v х, vy, v2, р, р, либо, считая эти шесть величин за
независимые новые функции (новый симметрический тензор), построить какие-
то новые уравнения, ибо теперь осреднённых уравнений движения и
неразрывности, очевидно, будет недостаточно.
§ 6. Характеристики турбулентности. Богатейший эмпирический материал
последних лет явился основой развития полуэмпири-ческих,
полутеоретических методов нахождения добавочных напряжений через средние
значения скоростей. С некоторыми изысканиями, сюда относящимися,- мы
познакомимся в следующем параграфе. Что касается присоединения новых
уравнений к системе осреднённых уравнений гидродинамики, то здесь
наиболее совершенная постановка вопроса принадлежала Келлеру и Фридману
*). Идея заключалась в присоединении к величинам vx, vy, vz, р, р (для
общего случая сжимаемой жидкости) в качестве искомых функций 15
дальнейших «характеристик» турбулентности, вводимых под названием
«моментов связи» и являющихся обобщением рейнольдсовских добавочных
напряжений. Моменты связи строятся после того, как введены
«корреляционные моменты». Под последними понимают выражения вида
Ж/i- /г) =/i/г — Л/г (поскольку равенство ЛЛ^ЛЛ выполняется лишь
приближённо, Ж/1/2) лишь приближённо будет равно
/1/2). где /] и /2—какие-либо гидродинамические элементы; задав теперь
произвольные приращения ± ?, + т), ± С координат х, у, z,
') См. работу Келлер Л., Ueber die Aufstellung eines Systems von Cha-
rakteristiken der a'inospharischen Tuibuienz, Изв. гл, Физ. Обсерватории,
1925.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
699
определим момент связи (fv /2) для двух каких-либо функций ft и /2 в виде
/2)== R f/i У У’ % Ч У —!— %Ч~ ?> 01>
Таким образом, моменты связи суть функции времени, координат и трёх
добавочных переменных *). Легко видеть, что придётся рассмотреть
пятнадцать моментов связи для случая сжимаемой жидкости, или десять для
несжимаемой жидкости.
В работе Кармана, а затем в работе Кармана и Хауэрса2) и одновременно в
работах Миллионщикова и Лойцянского 3) решение получаемой таким образом
системы уравнений доведено до конца в одном весьма частном случае
турбулентного движения — в случае так называемой однородной и изотропной
турбулентности. Последнее понятие было расширено Колмогоровым, который
ввёл в рассмотрение «локально однородную» и «локально изотропную»
турбулентность. Изложение первых результатов, касающихся этих частных
видов турбулентности так же, как и соответствующего аппарата исследования
турбулентности, можно найти в монографии Обухова А. М. «Приложение
методов статистического описания непрерывных процессов и полей к теории
атмосферной турбулентности», Диссертация, Москва, 1947 г.
Ричардсон и Тейлор4) пришли совсем из других соображений к рассмотрению
моментов связи для различных гидродинамических элементов. Мы ещё вернёмся
к этим работам, а сейчас остановимся на вопросе о сопровождающем
турбулентность перемешивании.
Рейнольдс ввёл в качестве «характеристик» турбулентности шесть
компонентов тензора добавочных напряжений; Ричардсон, Шмидт и Тейлор
вводят в рассмотрение лагранжевы переменные. Это даёт возможность следить
за конечным перемещением индиви-
’) При построении дополнительных уравнений приходится воспользоваться
новой гипотезой, касающейся осреднений, применительно к необходимости
