Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
имеют тот же вид, что и уравнения Навье — Стокса, с той лишь разницей,
что к компонентам тензора напряжений прибавлены
величины
,2
?pvx,
PVxVy’
Р =—dv': Р =— pv'v'
XX г х ’ ху г X у
соответственно. Шесть величин
1
Рхг =
Pyz =
pvyvz;
УУ
? pv.
У ’
? PW
pvz
(5.2)
носят название добавочных напряжений. Так как ххх, .. . суть линейные
функции от производных vx, vy, vz по координатам, то ххх, .. . так же
выразятся через средние скорости, как ххх, .. . выражаются через точные
скорости, и мы получаем следующий замечательный результат: если ввести в
уравнения гидромеханики вместо истинных
скоростей их средние значения, то одновременно с этим
надлежит
ввести новые поверхностные силы, изображающиеся в виде тензора с
компонентами Рхх, Рху, ..., Pzz. Добавочные напряжения представляют как
бы суммарный эффект всех беспорядочных отклонений
скоростей от их среднего значения.
Смысл величин Рхх, .. ., Pzz станет особенно выпуклым, если вспомним, как
в кинетической теории газов получаются уравнения Навье — Стокса. Мы
знаем, что ряд свойств газа, такие, как вязкость, диффузия,
теплопроводность, обязан своим происхождением суммарному эффекту
молекулярных движений, каковые в деталях мы описать не можем. Более того,
в кинетической теории газов показывается что компоненты тензора
напряжений в уравнениях Навье — Стокса
694
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
получаются из величии сх — сх, су — су, сг — сх (сх, с , cz — скорости
движения молекул, сх, су, сг—средние значения скоростей—скорости всего
потока) совершенно так же, как наши Рхх, Рху Pzz получались из v'x, v',
г»'. И там и здесь мы суммарно описываем
эффект беспорядочных движений.
Отметим, что при формальном введении величин Рхх, . . . вязкость р.
никакой роли не играет: уравнения для средних элементов турбулентного
движения идеальной жидкости отличаются от построенных нами уравнений для
вязкой жидкости отсутствием членов т члены же, дающие добавочные
напряжения, имеют в обоих случаях одинаковый вид.
Кинетическая энергия турбулентного движения будет для единицы объёма:
Рассмотрим некоторый конечный объём (т) нашей жидкости и найдём скорость
изменения средней кинетической энергии этого объёма, т. е. величину
Для простоты рассуждений предположим сперва, что объём наш ограничен
твёрдыми стенками и что внешние силы отсутствуют (F=0). Умножая уравнения
Навье-Стокса на vx, vy, v2 соответственно и складывая их, получим:
Беря интеграл от обеих частей по всему нашему закреплённому объёму, внося
vx, ... под знаки производных, применяя формулу Грина и замечая, что на
стенках всюду г» = 0, мы получим, после
Р2 K + + =
= у-Ьvl)4-Р(vxvx-j-'VyVy4-vzv'z) +1-(vx 4-vy 4-vx).
ОСНОВНЫЕ УРАЗНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА
695
простых преобразований: д л ..2 , ..2 , „2
~dt
f vl + v2y + vl^
- J p----------i—
W
-/[•
dv,
dv.
dv,
dvx,
xx dx Х*У dy x*z dz V dx
+
? 1- -r --------------------1— --------
' УУ dy ' y* dz
dvz
Введём обозначения:
г-t dx xzy dy + '
r=/PA±4±A*
T.Jf,3±3±lU
r-/p t+gizL*
dvz
zz
dx.
(5.4)
тогда для скорости изменения средней кинетической энергии Т нашего объёма
получим, очевидно:
dT dTn
dT'
dt
dt
dt
= f {х**ж+ • • •) dx~ f {x'x*t?+ ? • •)dx'
(-) ,T)
(5.5)
где x = т
XX XX
•x , ... С другой стороны, нетрудно найти другое
выражение для dTJdt — dTQjdt. В самом деле, умножая (5.1) на vx, vy, vz
соответственно, и складывая, получим:
(I + ^ Й ^ I + ^ I) | ^ =
— dp V*Tx
+ ? • • (Xxx — PV'x2) +
Интегрируя по объёму (т) обе части этого равенства и применяя формулу
Грина, получим, на основании того, что на стенках
= V, = 0:
()
dt
- /+
(-)
дТ0
dt
/[(’
(-)
PV*)lht+ \ dx- (5'6)
695
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. in
Сравнивая (5.6) с (5.5). получаем для скорости изменения со временем
средней кинетической энергии Т! турбулентных пульсаций выражение
дГ
dt
r = -fp[<
<-)
~,2 dvx
Vx Ж
- г , dv' -
+ • dx-J х (- . XX Ox 1
w
Наконец, вставим в (5.6) и (5.7) выражения ххх водные от скоростей по
координатам
dx. (5.7) через произ-
dv'
zxy = t1 '
/ du?
dv.
Xxx ~ 2ti ~dx ’
, L _У
V dy 1 dx
/dVr dx/A \ dy "1_ dx )
получим окончательно:
dj\
dt
dT
dt
W dx,
= — / фо*+ /
(-) (')
*- = — f Ф' dx— f W dx,
(5.8)
(5.9)
где
/ / 2 dvx . , 2 dyy ( x dx ' у dy
-M
,2 dvz —----7
44- V V x dz 1 u г
dvz У "2
dvi
Ф'
Ф,
, ——71 dvx . dvz\ . ——j (dvy dvx\ ) + VxVz(-dF + 17/ + VxVy {djr + ^7) )
’
^M#)’+2(#)’+2 №)’+(#+#) +
+(#+?)?+(&+?)'}•
=72 (§)'+2 +2 (#)'+(f+w)!+
w+ж) +Ur+dVJ )•
Знак в правой части выражения (5.9) скорости изменения энергии пульсаций
может быть положителен или отрицателен в зависимости
от знака члена
J Ф dx, первый член — J Ф'dx зависит от коэффи-
(-)
циента вязкости р. и всегда отрицателен.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА
С97
Если надо принять в расчёт внешние силы f~\., Fy, Fz и если объём (х) не
ограничен твёрдыми стенками, так что на границах г/=?0, в уравнении (5.8)
придётся добавить члены, представляющие:
