Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 171

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 183 >> Следующая

/----
/-\ 1 ч/ 6 „ «Р
со (?)~т у —е
Тип сглаживающей функции
^
1 9?>2
(а)
встретится нам в теории перемешивания. Сглаживание с этой функцией
называют иногда сглаживанием по Гауссу [<» ^;) имеет вид гауссовой кривой
чнибокр
690
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
где F(x)— слабо меняющаяся функция своего аргумента, а ср (лг), напротив,
—функция, представляющая очень быструю изменяемость и неупорядоченность
гидродинамического элемента / в турбулентном процессе; иначе говоря, <р
изображает пульсацию нашего элемента около его значения F и очень часто
переходит через нуль. Тогда
J=F + v.
Пусть для конкретности мы имеем дело с простым осреднением; так как F (х)
слабо меняется, то, беря интервал осреднения I не слишком большим, можем
приближённо написать:
, 1 1
+ 2 + Т
F = у f F{x — f F(x)dZ=F(.xy, (4.5)
~L _i_
2 2
если всё же / будет настолько велико, что внутри интервала I функция ср
много раз будет обращаться в нуль, то приближённо будет:
4- f cp(?)dS»0.
i
Х 2
Таким образом приближённо получим
f^F- (4.6)
но тогда, осредняя ещё раз, получим:
или, на основании (4.5)
f^F,
т. е. по (4.6) _
f^f,
и мы получим первое из условий 3. Из этого условия, в частности, следует,
что
Т ~о,
ибо
/' = /-/ и f' = f-f-= /-/-о.
Также можно разъяснить требование /1/2 = 0. В самом деле, 2 = /2—/о, т.
е. /2 имеет характер ср, a fx имеет характер F, но
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА
69;
функция вида F. ср будет в интервале очень часто переходить через нуль и
/Ар~о. Аналогичным образом установим, что /х/г^/г /г1)-
В заключение этого раздела заметим, что если под / разумеется случайная
функция в том смысле, как это понимается в теории вероятностей, и если
под знаком / разумеется математическое ожидание, то наши «постулаты»
выполнятся совершенно строго сами собой.
§ 5. Основные уравнения Рейнольдса. Обращаясь к уравнениям гидродинамики,
рассмотрим сперва случай несжимаемой жидкости (р = const.). Напишем
уравнение неразрывности и уравнения Навье — Стокса и произведём
сглаживание над правыми и левыми частями этих уравнений, пользуясь всегда
одной и той же сглаживающей функцией (например, произведём осреднение в
одном и том же интервале)2), удовлетворяющее перечисленным выше условиям.
Уравнение неразрывности даст вследствие условий 2 и 1;
| _ дх ду “1 дг '
‘) Вместо трёх постулатов 3 мы можем формально принять один постулат:
/1/2 = /1/21
понимая здесь под /, и /2 любые величины, например, постоянные.
Действительно, при /2=1 получим, вследствие этого равенства, /, =/й
далее, /,/2 = = Д/2= /х/2. Наконец, условие /х/2 = 0 следует из того, что
//2 =
= 71 (Л— Л) =Л/2— 7Ji =/1/2 — 7Jb так что. по нашему постулату и по
условию /х/2 =/j/2, будет/х/2 = 0. Вопрос о возможности точного, а не
приближённого выполнения условий 3 при разных формах сглаживания, так же
как и вопрос о независимости наших постулатов, разобран в статье Изаксона
А. «К определению турбулентности» Ж. Р. Ф. — X. О., 61 (1929), 3.
2) Мы говорили о сглаживании функции f(x) одного аргумента. Если есть
функция f{x, у, z, t), можно определить соответствующую сглаживающую
функцию ш (5, т], С, т), так что
-f-O*4
7= f J f f / (яс - у гc,-OrfSrfrjrfCrft.
Рейнольдс осредняет уравнения гидродинамики по одному лишь аргументу— по
времени.
692
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. ш
Уравнения Навье — Стокса дадут:
др г-. dvx / dvx , ovx . dvx\ ,
-4- = pr r — p —tt P о, - у - -t- vv -5 -- 4 v, j -J-
ox ?* dt \ x дх ' У ду г dz j
d~xx diXy ! dzxz dx ’ dy _r" dz
dp dvv I dvv dv dv.,
"t— ^~ o/4 — p —гг P ' ^x ~л b~ г-v т ^z —T—
dy ' У v dt \ x dx ' у dy 2 dz
дхУ* , дхУУ , d~yz
dx ' dy ' dz
*E. = 0F —0^-Jv ^+v ^4-v ^4^ + ^
dz ' г 1 dt ' \ x dx у dy z dz )' dx ' dy ' dz
(считаем, что FX = FX и т. д.). Преобразуем входящие в ускорение
нелинейные по отношению к скоростям члены; заметим, что вообще
/1/2 — (/1 + /0 (/2 + /2) — /1/2+ /1/2 + /1 /2 + /1/2.
а потому /г/2 может быть записано, на основании свойств 2 и 3 в виде
772 = Л Л = Л^-
Таним образом, например:
dvy . dvx , dvr
Vx-dT + vy^ + Vz~df
— dvx — dv t — di\ dv, dv t , dvx
vy~d^ + ‘Uz 1T + w*ir + t'y'd7 + ®*-5r:
HO
, , , dv'x , ,
у — Uy \- V =
4л r )' ()) 1 г Уг
д I dv'Y dv'y dv\
— 4 лт; 44 4 . . и 4 — г/
dx x dy x >? dz а г x \ dx dy 1 <4
У 7 2 , О , , О , ,
= T— 1- 4----r- V V -r -T— г» У ,
&Г -1' 1 ду x У ^2 А г
ибо вследствие линейности уравнения неразрывности будет
dv' dv' dv,
UX Оу dZ
= 0.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА
693
Мы можем, в виде
таким образом, переписать уравнения Навье — Стокса
др_
дх
= р/7, — Р (-
+—0 ^ дх \
. I dvx I - dvx I - dvx .
д
*?%) +
др_ ду ]
' дх :Р^3
+- — ^ дх
,2
-pvx
, д Г )+ d7(T*y'
dvv
dvy ^
'У2
у — P ("dT + "&F + г,у ~df +w*'5r)
(3 , -1 74 , <3 / “Тг
P^y) + ^r(Tyy-P^
pf —p i^+v ^--hv d* — P г P\ df ^ * dx ^ у dy ^* dz
d /~ ——t\ , d /—
’•?‘Uz)+ dF(T«
+dj(v--p«)+^r(^y-
? Pv,
у z)
- P«)’
p®X).
?p<2)'
(5.1)
Мы видим, что уравнения для средних скоростей и для среднего давления
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed