Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 170

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 164 165 166 167 168 169 < 170 > 171 172 173 174 175 176 .. 183 >> Следующая

равновесии. Напротив, если будет 7 > 7а («сверхадиабатический градиент»),
то при подъёме (Т < Т0) будет d2zjdt2 > 0, при опускании (Г> T0)d2zjdt2 <
0, т. е. частица будет продолжать двигаться вверх или вниз. Равновесие
неустойчиво и может начать развиваться турбулентность!).
Б. РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
§ 4. Сглаживание. Три основных признака характеризуют так называемое
турбулентное движение: во-первых, большая пестрота и быстрая изменяемость
поля скоростей, во-вторых, неупорядоченность
*) Более точные исследования можно найти в книге: Кочин Н. Е. и Извеков
Б. И., Динамическая метеорология, ч. I, 1935.
СГЛАЖИВАНИЕ
687
в смене скоростей и, в-третьих, сопровождающее эту смену перемешивание
жидких частичек.
Структура развитого турбулентного потока весьма сложна, и траектории его
жидких частичек чрезвычайно запутаны; если движение частиц турбулентного
потока и удовлетворяет уравнению Навье-Стокса или Эйлера, то для описания
этих движений потребовались бы, очевидно, интегралы уравнений, настолько
сложные, что отыскание их было бы по безнадёжности равносильно отысканию
траекторий каждой отдельной молекулы, движущейся среди других молекул ’).
Сказанное здесь заставляет, на первых порах, отказаться от возможности
получить точную математическую картину того, что происходит в каждый
момент времени и в каждой точке пространства в турбулентном движении.
Вместо этого приходится обратиться к суммарно статистическому описанию
явления. Нужно построить сглаженную картину того, что происходит в
турбулентном процессе,— построить уравнения для сглаженного, осреднённого
поля скоростей, для средних давлений, для средних траекторий.
Чтобы «сгладить» какую-либо функцию f{x) одного аргумента2), выбирают
обычно сглаживающую функцию ш (?), которая удовлетворяла бы условию
+ оо
J со (?) cLl = 1.
— ОО
Сглаженная функция f (х) получается затем по формуле
+ оо
fix) — J —
1) Здесь может возникнуть сомнение: можно ли вообще представлять скорость
в турбулентном движении как некоторую непрерывную функцию координат и
времени?
«Обладает ли ветер скоростью?» задаёт вопрос один из создателей тео-оии
турбулентности Ричардсон (Richardson). Можно ли представлять скорость
частицы турбулентного движения как предел отношения элемента Ах
траектории частицы к элементу времени At! Может быть, стилизовать
траекторию в турбулентном движении мы должны будем, беря в качестве
закона движения непрерывную функцию, ни в одной точке не имеющую
производной по времени, вроде известной функции Вейерштрасса:
?* = и + 2(т
л-1
2) Не представляет никакого труда обобщить операцию сглаживания на случай
функций любого числа аргументов.
688
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
или, что то же,
/0)= f / (х — 5) ш (?) dl
(4.1)
Обычно в качестве ш(?) берут чётную, неотрицательную функцию, не
возрастающую с ростом модуля аргумента. Заметим, что операция сглаживания
линейна по отношению к сглаживаемым функциям, так что результат
сглаживания суммы двух функций Д(х) и /2(х) равен сумме результатов
сглаживания этих функций:
4-00
fi (х) + /2 (X) = Jf [Д (х — у + /2 (X — ?)] О) (?) dl =
J fi(x~ ')(B©rf?4- J /2(х — t)w(z)dl= /j(x)-f /2(х).
При повторном сглаживании некоторой функции / при помощи какой-либо
другой сглаживающей функции <ог(5) получим, очевидно.
+ СО -J-оо
/ (х) — J J /(X — и — k)u>(z)dz
— СО L —ОО
о), (и) dx ??
— / /{х~-ц) J ю (т; — ^) со1 (^) rft rfrj,
что равносильно одному сглаживанию со сглаживающей функцией
“2 (^У
,(т]) = J (О (7]—
(4.2)
При этом
м2 (Д =? m (7)) и Ч»), (т)).
Одним из наиболее распространённых видов сглаживания является
«осреднение» в некотором интервале I. Здесь в качестве о>(() принимается:
2-Л 1
(:) = — при и> (?) = О »
Т< = <7’
|il>f
(4.3)
СГЛАЖИВАНИЕ
689
При этом
I I
+Т X+J
f(x) = j f /(* — !?)«& = -)- f f(l)d\ (4.4)
'i ' i
2 X~ 2
(среднее значение функции / в интервале /)’).
Прежде чем обратиться к уравнениям гидромеханики, обозначим
разность /— /(/-какой-либо гидродинамический элемент) через /', так что
/ = / + /'.
и предположим, что сглаживаемые функции и сглаживание таковы, что
выполняются равенства:
\\ Ж — Ж К —Ж К—Ж Ж —дЖ
4 dt dt ’ дх ~~ дх ’ ду ~~ ду ' дг ~ дг ’
2) /i + /2 — /1 ~f /г>
3) /, = /,. 7/2 = 0, 77= 7 72-
Условия 1 и 2 можно считать выполняющимися вполне точно.
Условия 3 будут, вообще говоря, иметь место лишь приближённо.
Чтобы установить характер этих последних условий, заметим, что
по самому смыслу описания турбулентных процессов функция / должна быть
представлена в виде
f(x)=F(x)-hy(x),
') Повторное «осреднение» приводит по (4.2), как нетрудно убедиться, к
сглаживанию с функцией о>2:
1
(?) — ^2 (/ — !: |), когда | ? | < /, а>2 (?) = 0, когда 15 [ > /.
Как правило, повторное осреднение не будет простым осреднением. Нетрудно
убедиться, что, повторяя простое осреднение, в интервале I п раз, получим
составную операцию сглаживания, функция <лп (с) которой будет
асимптотически подходить к закону
Предыдущая << 1 .. 164 165 166 167 168 169 < 170 > 171 172 173 174 175 176 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed