Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Al + C0^-(l-ka)+^=Ua\
6Л2_^ + ^ = 0.
Исключая из второго и четвёртого равенств Hj и Cv получаем:
С» = ^Т5ЕГ' <25-22>
2
исключая же из третьего и пятого уравнений Л2 и С2, находим:
C0ka4 — Сха2 = 0,
откуда
с1=-г^&г; (25-23)
2
после этого первое и второе уравнения определяют Л0 и Ах:
. 3(/а (1 — &2а2) .
524
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Наконец, Л2 и С2 определяются только в комбинации
С2 __ Uka5
2k
2(4—3 ka)
(25.26)
так как при принятой степени приближения невозможно отделить Л2 от С2- Мы
видим, что сделанные нами допущения о порядке коэффициентов А и С
действительно имеют место.
Перейдём теперь к исследованию полученного решения. При этом мы будем
ограничиваться в разложениях для ср и ^ только первыми двумя членами и
соответственно этому упростим найденные выражения для коэффициентов Л0,
Ах, С0 и Сх, отбросив в Л0 и Аг члены порядка k, а в С0 и Сх — члены
порядка к2. Тогда можно принять
Сп
Ша
3ka \
4k
2 \ 4
31/а 3ka
~4~
?Ua3k,
(25.27)
Составляем теперь по формулам (25.19) выражения для проекций скоростей vr
и и9, причём будем пренебрегать членами, содержащими k множителем:
- + •
Сае~кт (1~cos 9>
2kr2
[ 1 + kr (1 -f- cos 6)] •-(-С, cos 0g-ftr(i-cos6)
A! sin 0 , C0 sin 0
/'3 I Tr
g-kr (1-cos 0) _j_
. С, sin 0
2kr3
kr3
-kr (1 cos 0) — U sjn
-f- U cos 0,
(25.28)
Для давления, на основании (25.15) и (25.20), мы имеем формулу:
I г га cos(
P=Po + PUAo-w
-р U А,
3 cos2 0 — 1
?Ро-
3ka \ cos 0
1 р ига?
--2 —r— (3 cos 9'
1). (25.29)
Для точек вблизи сферы, разлагая в формулах (25.28) показательные функции
по степеням kr и ограничиваясь той же степенью приближения, получим:
vr=U cos
3 a 1 а3
Vu — — U sin I
2 г3 J 1 а3 4 /-3
}?
(25.30)
УТОЧНЁННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СФЕРЫ
525
т. е. восстанавливаем формулы Стокса (23.13). Следовательно, вблизи сферы
течение имеет, по-прежнему, вид, изображённый на рис. 167 (относительное
движение) и на рис. 168 (абсолютное движение).
На далёких от сферы расстояниях дело обстоит совсем иначе. В этом случае
мы можем отбросить в формулах (25.28) члены, содержащие коэффициенты Ах и
С{, как малые, по сравнению с членами, содержащими А0 и С0. Мы будем,
далее, рассматривать для определённости абсолютное движение сферы в
жидкости, покоящейся на бесконечности; тогда в выражениях (25.28) нужно
отбросить также и члены U cos 6 и — (У sin 0. В результате мы приходим к
следующим простым выражениям: д д p-kr (l-cos 9) vr =--------------------
---- —2 [1 -f-kr (1 -(-COS 0)],
kAa sin t)
g-kr (1- cos (
(25.31)
причём нужно помнить, что сфера двигается вдоль оси Ох в отрицательном
направлении со скоростью U.
Рассмотрим теперь отдельно движения жидкости перед телом и позади тела.
Рассмотрим сначала ту область, где kr( 1 —cos0) имеет значительную
величину, т. е. где kr велико, а 0 достаточно отличается от нуля; в этой
области мы можем пренебречь значением показательной функции, в результате
чего полу-
чим:
vr = -
Ша
4k
(? +
3ka \ 1 4 ) г2 •
(25.32)
Рис. 169.
Но к упомянутой области не принадлежит только узкий хвост позади тела.
Поэтому полученная формула показывает, что на далёких расстояниях всюду,
кроме узкого хвоста па-
раболоидального вида позади тела, течение мало отличается от течения,
вызванного источником, находящимся в центре сферы и имеющим интенсивность
3Пак (л , 3ka\
Т/
Q,
?(.+
(25.33)
Только что высказанное положение наглядно подтверждается рис. 169, на
котором даны линии тока для абсолютного движения сферы.
Напротив, рассмотрим область далеко позади тела, в которой Угол 0 мало
отличается от 0, a kr велико, причём величина
526
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
kr( 1—cosS) близка к нулю. Тогда выражение 1 -\-kr(1 -f cos6) мало
отличается от 2kr, значение е~кг а_ c°s 0> мало отличается от единицы, и
мы получаем приближённое выражение для vr следующего вида:
Мы видим, что в узком хвосте далеко позади тела жидкость движется в том
же направлении, что и тело, причём на больших расстояниях скорость
изменяется обратно пропорционально первой степени расстояния. На рис. 169
видно резкое различие течений впереди и позади тела.
Сущность этого различия легко выяснить, если найти распределение вихрей в
рассматриваемом течении. Для вычисления вихрей проще всего
воспользоваться формулами (25.8) и (25.9), в которых мы, согласно
рассматриваемому приближению, должны взять
Для больших значений /ег (1 —cos 6), т. е. далеко впереди тела (точнее
говоря, вне узкого хвоста позади тела), значение 2 очень мало,
следовательно, далеко перед телом движение носит почти потенциальный
характер. Напротив, в узком хвосте позади тела, где величина kr{ 1 —cos
6) очень мала, движение носит завихренный характер. Правда, при 0=0 мы
получаем 2 = 0, но при 0=1 lYkr, где kr— очень большое число, т. е. на
поверхности параболоидального вида, мы получаем:
так что вихри в области позади тела затухают обратно пропорционально
полуторной степени расстояния.
Чтобы вычислить функцию тока Ч1, (г, 0), мы можем применить формулу
