Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдём теперь к решению уравнения (25.14). Сделаем подстановку, положив
^ = екх^\
тогда, после простых вычислений, найдём для определения функции ф
уравнение
Ц — к.Ц = 0, (25.17)
которое в сферических координатах г, О, X имеет вид:
^ _1_ 2 il _4_ 1^ I 1 ^ кЧ— П
дг2 ' г дг ' г2 dfl2 ' г2 d0 г2 sin2 6 дХ2 ‘
Отыщем те решения этого уравнения, которые зависят только от г; в этом
случае мы можем переписать уравнение следующим образом:
откуда следует, что
гф = Вхект + В2е~кт.
Так как нас интересуют решения, обращающиеся на бесконечности в
нуль, то мы примем за основное решение уравнения (25.17)
следующее:
ФоО*. У. *)?
Ясно, что dtyjdx, d2ty0/dx2 и т. д. тоже являются решениями уравнения
(25.17), a екх%, ekx д$0/дх и т. д. — решениями уравнения (25.14). Кроме
того, последнему уравнению удовлетворяет также х. = const. Мы примем
поэтому
{ e-kr д I е~кт\ д2 ( е-ьг
(25.18)
тогда граничные условия на бесконечности будут удовлетворены; остаётся
определить постоянные Ай, Ах, ... С0, Cv ... так, чтобы удовлетворялись
граничные условия на поверхности сферы. Для этого удобно будет перейти к
сферическим координатам г, 0, X. Этот переход очень легко совершить на
основании формул (25.13), если
§ 251
УТОЧНЁННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СФЕРЫ
521
вспомнить, что проекции вектора grad ср на оси сферических координат
равняются соответственно ду/дг, \jrdyjdb и l/r sin 6 dcp/dX. Поэтому
вследствие формул (25.13), (25.16) и (25.18) для составляющих вектора
скорости в сферических координатах получаем следующие выражения:
d? I I dx „
^ = 17+ 2*-d7~Xcos6'
1 dtp . 1 dx I .n
v* — 7 Ж+ Ш Ж + * sin 9’ vx — 0.
(25.19)
Мы не будем строго решать поставленную нами задачу, а ограничимся
приближённым её решением. Именно, мы возьмём в разложениях (25.16)
(25.18) только несколько первых членов и опре-
делим их коэффициенты так, чтобы значения на поверхности сферы отношений
vrjU и v^U были малыми величинами второго порядка относительно считаемого
малым числа Рейнольдса R — 2ka.
Чтобы решить вопрос о том, сколько членов взять в разложениях (25.16) и
(25.18), обратимся к решению Стокса.
Сравнивая выражение (25.15) для р с выражением (23.13), мы видим, что в
решении Стокса
т. е.
dtp 3 чах д
дх 2 г3 дх
3 ча
V — ~ ~2 7 ’
/ 3 ча\ \2
если мы выразим v через k по формуле (25.12) для того, чтобы ср было
пропорционально U, то найдём:
3 U а У ‘ 4 kr ’
л 3 Ua 3 Ua2
Ло — — 4 к 2 ~R
Мы видим, таким образом, что Л0 содержит множителем R-1; можно поэтому
сделать предположение, что в разложении (25.16) Ай будет порядка 1/R, А1
— порядка 1, А2 — порядка R и т. д. Обращая, далее, внимание на формулы
(25.19), мы видим, что в у главный член должен быть порядка 1, так как
тогда выражения lj2kdxjdr и \j2krdyjdb будут порядка 1/R и
смогут сократиться
с членами этого же самого порядка, происходящими от слагаемого А0/г
функции ср. Итак, мы можем ожидать, что С0 будет порядка 1,
С] — порядка R, С2 — порядка R2 и т. д. Конечно, сделанные нами
предположения о порядке малости различных коэффициентов должны быть
проверены после вычисления.
522
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости
(ГЛ. II
Считая теперь число Рейнольдса малым, разложим функции ср и % по степеням
R, причём в разложении для ср мы должны взять члены до первого порядка
относительно R включительно, т. е. члены, содержащие коэффициенты А0, Aj
и А2; в разложении же для % мы должны учесть также и члены второго
порядка относительно R, так как в формулах (25.19) производные от /
входят с множителем 1/k.
Помня, что x = rcos0, без труда находим:
д / 1 \ х _ cos 0, д2/1\_______ 1. Зх2 3 cos2 0 —
1
дх \ г) г3 г2 ’ дх2 \ г / г2 ' г5 г3
и, следовательно, для ср получается следующее приближённое выражение:
Составим теперь приближённое выражение для ур мы имеем, прежде всего, с
точностью до членов второго порядка включительно:
e-k(r-X) g —&г (1 —cos в)
далее, с точностью до членов первого порядка включительно,
А0 Ах cos 0 <р —— -рг—
А2 (3 cos2 0 — 1) г3
(25.20)
г
Г
у — k{\—cos 0) —]—(1—cos О)2 —|—
cos 0
k cos2 0
• • •
г
и, наконец,
Поэтому приближённое выражение для у имеет вид:
X = -tf+ C0[I-A(1—cos0) + -^(l-cOs0)*] —
— COS
Составляем теперь равенства vr(a, 0)^=0, о-, (а, 0) = 0, причём в
выражениях — cos 6 и малые величины второго порядка
§25] УТОЧНЁННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СФЕРЫ $23
относительно R отбрасываем; в результате получаем:
Л0 | 2Л[ cos 0 ЗЛ2 (3 cos2 0 — 1) а2' ‘а3 а4
— {ш2^ а ТС1 — 3 cos2 6-|- 2 cos 0)| +
, п ( cos 0 , 3 cos2 0 \ ЗС2 (3 cos2 0—1) , тт Л
+------------------------------Sp-f-2k*-L + U cos 0 = 0,
6A, cos 6 . „ ( 1 k .. os) ,
+ Co \ ~C0S 6)} +
, C, 3C2 cos 0 r r n
~г~ 2ka* ka4 U — U'
Приравнивая в первом равенстве коэффициенты при 1, cosS и 3cos20—1, а
во втором коэффициенты при 1 и cos 0, получаем
пять уравнений для определения шести коэффициентов А0, Аг, А2, С0, Cj и
С2:
А А- — О
л°^ 2k 2
2At - С0а2 (l _ *L) + = _ Ua\
о л , r ka* C,a2 3C2 _
йл2 + со~4 2 ' 2k~
