Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
то непременно должно быть во всякой точке
dvx dvx _ dvy ^ dvy _
дх ду дх ду ’
т. е.
vx = const., —const., и вследствие первых двух граничных условий (24.2):
vx = 0, vy = 0,
что противоречит условиям на бесконечности (24.2).
Парадокс Стокса показывает нам, что мы не можем получить приближённого
решения плоской задачи даже для малых чисел Рейнольдса путём полного
отбрасывания инерционных членов.
§ 25. Уточнённое решение задачи о движении сферы. Осеен (Oseen) показал в
1910 г. на примере движения сферы в вязкой жидкости3), что мы
получим гораздо лучшие результаты, если
в уравнениях движения оставим только важнейшие из инерционных членов,
отбросив остальные инерционные члены.
А именно, будем рассматривать задачу об обтекании сферы потоком, имеющим
на бесконечности скорость, параллельную оси Ох и рав-
*) О s е е п С. W., Ueber die Stokessehe Formel und iiber eine verwandte
Aufgabe in der Hydrodynamik, Arkiv fur Mat., Astr. och Fysik, 6 (1910), №
29; 7 (1911), № 1.
§25]
УТОЧНЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СФЕРЫ
517
ную U. Как было отмечено выше, неудовлетворительность решения Стокса
проявляется на далёких от сферы расстояниях. Но в далёких от сферы точках
v=U + v'
(25.1)
где г/, v', v' суть малые величины. Рассматривая теперь инерционные
члены, стоящие в левых частях первых трёх из уравнений (5.1), мы увидим,
что они отличаются от
U
dvx
дх
dv.,
U ? У
дх
U ?
дУг
дх
(25.2)
малыми членами второго порядка, если считать vx, vy, vz и инерционные
члены за малые члены первого порядка. Поэтому мы получим гораздо лучшее
приближение в далёких от сферы областях, если заменим уравнения (5.1)
следующими обобщёнными уравнениями Стокса:
U
U
дх
dv„
9 Vx’
1 др
дх
dv
дх
dv
Р dy 1 др р дг
? v Дг».,
+* bv2
dv,,
dv7_
дх
ду
дг
:0,
(25.3)
которые имеют очень простой вид, если их записать в векторной форме:
U
dv
дх
1
grad p-j-vA®; div®==0.
(25.4)
Нужно отметить, что для области жидкости, непосредственно примыкающей к
сфере, замена инерционных членов величинами (25.2) ничуть не лучше замены
этих членов нулями, так как в этой области vx, vy, vz малы (на самой
поверхности сферы vx, г»у, vz обращаются в нуль), и мы не можем
использовать факта малости г»', по сравнению с U. Однако, поскольку мы
рассматриваем движения с малыми числами Рейнольдса, то как полные
инерционные члены, так и заменяющие их в наших уравнениях выражения
(25.2) будут малы по сравнению с членами, происходящими от сил вязкости.
Следовательно, в области, примыкающей к сфере, уравнения (25.3) и
уравнения Стокса являются в одинаковой мере хорошими приближениями к
полной системе дифференциальных уравнений (5.1).
518
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Граничные условия, которым должно удовлетворять решение системы (25.3),
остаются прежними:
?к.. — V,, — г». О при г — а, )
п n n 1 (25.5)
vx-> и, vy-> 0, vz~> 0 » r->oo. J
Для решения поставленной задачи мы применим метод Ламба ь).
Образуем расхождение и вихрь от обеих частей первого из
уравнений (25.4); принимая ещё во внимание второе
из этих уравнений,
придём к формулам:
= 0, (25.6)
= Q. (25.7)
где
Q = rot v.
Используем теперь симметрию движения относительно оси Ох. Ясно, что
вихревые линии должны быть окружностями с центрами на оси Ох, так что во
всяком случае
Й.,--0. (25.8)
Но тогда условие
div Q: приводит к равенству
дйу dQy dSz
дх ду дг
~Sy '~ШГ
?О,
откуда следует, что
qz==*L У dz z ду
(25.9)
Итак, мы имеем формулы:
dvz dvy ___________ dvx dvz dy dvy dvx dx
ду дг ’ дг дх дг ' ~дх ду~ ~ду~'
Сразу видно, что частным решением этой системы является
—X. ®у = 0, ог = 0,
общим же решением будет
I ^
^ = —Vy = w, ^ = (25.10)
') Lamb Н., On the Uniform Motion of a Sphere through a Viscous Fluid,
Phil, Mag., 21 (1911), стр. 120.
§25] УТОЧНЁННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СФЕРЫ 519
Подстановка значений (25.9) в уравнение (25.7) приводит к равенствам,
которые будут удовлетворены, если
?/-S' = vAZ-
С другой стороны, подставляя значения (25.10) в уравнение неразрывности,
находим:
A& = -?L
дх
и, на основании предыдущего равенства,
U
М = 77 ДХ.
откуда видно, что следует принять
^ = 77/ + ?.
где ср удовлетворяет уравнению Лапласа
Дер = 0. (25.11)
Введём для краткости обозначение
^ = й; (25.12)
тогда выражения для составляющих скорости примут следующий окончательный
вид:
= <25ЛЗ>
причём ср удовлетворяет уравнению Лапласа (25.11), а х— уравнению
AX~2k^ = 0. (25.14)
Подставляя значения (25.13) в уравнения (25.3), можем решить эти
последние уравнения относительно р, в результате чего получим:
p = p0-pu?. (25.15)
Уравнению Лапласа (25.11) удовлетворяет функция
<Ро(*. У г) — — — у~х2 + у2 + гг>
ср :
520 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ. 11
очевидно далее, что функции dtpJdx, д2у0/дх2 и т. д. тоже являются
решениями уравнения Лапласа (25.11). Мы положим поэтому
^+А^(г) + ^(т)+-- <25л6>
где постоянные коэффициенты Л0, Ах, А2 должны быть определены из
граничных условий.
