Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
= 0, легко получим следующее выражение для проекции ускорения на
направление оси г:
(dv\ ______ ' dvr\ _______
\ dt) г ~ V ?r дг je=0
о том, в каких случаях полученное приближением к точному
9 = 0 3 и2а
Для величины же
\_др_ о дг
За
~2г
^ 2 г3 /
Рис. 168.
и для равной этой величине соответствую-
щей составляющей сил вязкости мы получим, согласно последней формуле
(23.13), выражение
1 (др\ „ jj- Uа З'/Ua.
510
ДВИЖЕНИЕ вязкой жидкости
[ГЛ. и
Отношение двух полученных величин имеет значение
которое для больших по сравнению с а значений г приближённо равняется
Ur/2ч. Отсюда мы видим, что наше решение пригодно только в той области, в
которой число ?/r/v достаточно мало, во всяком случае меньше единицы.
Чтобы решение годилось в сфере, радиус которой в несколько раз превышал
бы а, необходимо, чтобы величина R = б/a/v была бы в соответствующее
число раз меньше единицы. При выполнении этого условия то обстоятельство,
что вне упомянутой большой сферы члены, которыми мы при решении
пренебрегли, становятся большими в сравнении с оставленными членами, не
имеет уже значения, так как на больших (по сравнению с а) расстояниях как
оставленные, так и выкинутые члены будут очень малы (опять-таки по
сравнению со значениями этих величин вблизи сферы радиуса а) и не смогут
повлиять на течение вблизи ограничивающей жидкость сферы.
Конечно, все эти рассуждения носят общий характер, и только опыт может
подтвердить правильность полученного решения и указать пределы его
применимости. В результате многочисленных экспериментальных исследований
над падением шариков в вязких жидкостях была установлена справедливость
формулы сопротивления Стокса
(23.14) и формул, её уточняющих (об одной из которых мы будем говорить
ниже, при изложении теории Осеена), для достаточно малых чисел
Рейнольдса, а именно для значений R < а/2. Не останавливаясь на численных
данных, доставляемых опытом, мы отметим только то обстоятельство, что
формула Стокса была использована как для измерения коэффициента вязкости
жидкости, так и в других исследованиях, как, например, в исследовании
Милликена об измерении заряда электрона.
В заключение этого параграфа рассмотрим следующий характерный для
рассматриваемого круга вопросов пример. Пусть капля воды сферической
формы падает в воздухе. Кроме силы тяжести на неё будет действовать сила
сопротивления воздуха; допустим, что последнюю можно вычислить по формуле
Стокса и что указанные две силы взаимно уравновешиваются, так что капля
падает равномерно со скоростью U. Если плотность воды есть р', а
плотность воздуха р, и если радиус сферы обозначим через а, то на каплю
будет действовать сила тяжести 4l3Tca3p'g (подъёмной силой Архимеда
4/3^а3р^ можно, очевидно, пренебречь); приравнивая эту силу силе
сопротивления Стокса 6-irp.Ua, получим равенство
4
r.a^/g — 6irpv6/ а
ПАРАДОКС СТОКСА
511
ИЛИ
// __ 2 gg2 t'
9 V Р •
С другой стороны,
UOf
R = —,
поэтому легко находим, что
а3 =4 jfR> t/3 = |-^R2f. (23.22)
Подставляя численные значения v2 = 0,133 см2/сек, g- = 981 см/сек2, р'/р
= 770, легко находим
а = 0,0047 t~R см, U = 28 f R2 см/сек.
Если R < 1/2, то а < 0,0037 см, U < 18 см/сек. Как видно, размеры тех
капель, к которым применима предыдущая теория, равно как и их скорости,
очень малы.
§ 24. Парадокс Стокса. Как было выше отмечено, решение Стокса задачи о
движении сферы, изложенное в предыдущем параграфе, представляется
неудовлетворительным, потому что в этом решении отбрасываются члены,
которые на достаточно больших расстояниях становятся сколь угодно
большими по сравнению с оставленными членами.
В случае плоской задачи с решением дело обстоит гораздо хуже. А именно,
оказывается, что задача об обтекании плоским потоком вязкой жидкости
кругового цилиндра совсем не имеет решения, если в основных уравнениях
отбросить полностью инерционные члены. Форма цилиндра не имеет при этом
никакого значения. Высказанное утверждение, как будет сейчас доказано,
справедливо для цилиндра произвольной формы.
Пусть С есть кривая, содержащая внутри себя начало координат, по которой
плоскость Оху пересекает наш цилиндр (образующие которого предполагаются
параллельными оси Oz), и пусть рассматривается обтекание цилиндра
потоком, имеющим иа бесконечности скорость U, направленную параллельно
оси Ох. Тогда, пренебрегая в основных уравнениях движения (5.1)
инерционными членами и внешними силами, мы приходим к системе:
дР дР л dv* ^ dvy А
дх~Р *’ 'ду~~Р У’ дх ду ~ ’ (24-г)
при граничных условиях
г
vt-y U, г» ~->0 при г со, (24.2)
vx = vy = 0 на С,
512
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
!ГЛ. 11
где г —= У л'2 -j- у'1. Обозначим через 5 область плоскости, ограниченную
кривой С и окружностью Г большого радиуса R с центром в начале координат,
и составим двойной интеграл
//[©Чж№Ы^Г]
dx dy ??
II
д v
г дх
d\v
: dv
div
dvy
’у 17
dv.
д у,,
ду
дх
ду
дх
ду
dx dv -
f f (Vx ^VX H- ду Avy) dx dy. (24.3)
По формуле Гаусса, замечая, что vx я vy обращаются на кривой С в нуль, и
