Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
теоремами косинусов и синусов, получим
урез == YV4, + и1 - 2uv cos (180 - a) = Vv1 -f-u'2 + %uv cos a>
sin (180 - a) sin (S
V '
откуда
. n v sin a
sin ? = ¦ >. ¦ . ..
Уv* u* 2uv cos a
18
В проекциях же на оси х и у получим из vp(,3 - v-{- и vPe3jt = v
cosa-j-u;
vpeay = v sin а.
Покажем, что второе решение тождественно первому Орез == У Црез^
+ Ирезу = ~\f V1 COS3 а W4 -f- 2VU COS X + U1 sin'J а = - Vv* (sin2 3i 4- cos4 a) 4- иг
4- 2vu cos a = ]r^y4 4" 4" 2ш cos a,
sin p:
WPe3v V sin а
рез УV~ + Us + 2vu COS а
Таким образом, оба решения эквивалентны, как и должно быть.
в) равнопеременное движение
При движении тела скорость его может изменяться. Для ха-
рактеристики быстроты этого изменения вводят понятие среднего
ускорения для промежутка времени Ш
- Дг" v - г"0
Ucp ~ At ~ At '
откуда
v = щ 4- асрДА
Поскольку Дt = t - t0, то
н = йо4-аср -
Если включать часы в момент U = 0, то
y(0 = Uo4-acp (t) t.
Движение, при котором а = const, называется равнопеременным. В
этом случае аср - а и, значит,
н = t"o4-at.
Покажем, что при таком движении
- v0+v
или, что все равно,
Щх + *>х v"v + г" v
VcPx- 2 ' VcPy- 2
Для доказательства этого построим графики зависимостей
и* -Но* 4~ ах^\ vy - v0y + Oyt,
1"
Известно, что на таких графиках (рис. 23) заштрихованная площадь
численно равна соответствующей проекции перемещения,
происшедшего за время t. Но в таком случае
Д*:
Vox + Vx
t\ Д</ =
Voy + Vy
t
(*)
2 -a- 2
(Д* и hy подсчитаны как площади трапеций). С другой стороны, из Ar
= VoVt имеем
Ах vcpt, Ду - нср t.
Поэтому, пользуясь равенством (*), получим V0X -\-Vx V6y 4- Vy
¦ 2 t-vcPJ', § УсРу
Сокращая в обоих равенствах t, получим
Vox 4- Vx Voy 4- Vy
или, что все равно,
2
Уср =
у-
Ур + У
2
2
что и требовалось доказать.
Используем полученный результат для вывода другой основной
формулы равнопеременного движения.
rr=vcpt = v^t=**±yt°i-t===v6t +
-
Т1
Эту формулу можно вывести и иначе, подставив сразу в (*) значения vx и
Vy. Тогда
axta dyt-
Ах - у о 1 2 * У VQyt "j 2 t
что эквивалентно формуле
at*
Д г - Vqt -j-2
20
Полученные формулы
у = УоЧ- й/; а7= v0t -}- у"
позволяют решить любую кинематическую задачу на равнопеременное
движение.
Задача 5
Из ямы глубиной h бросают тело под углом а0 к горизонту со
скоростью у0- Найти положение и скорость тела через время t (рис. 24)
Решение
Проектируя уравнение
на выбранные оси, получим
х - х№ = Поi cos v,
, . еТ3
У - Уч - vrf sin я0 - ^2 и учитывая, что x0 = 0 и у" -
- /г, найдем
X - v9t cos а0; у
= - h -f- vat sin a0 - Аналогично находим
скорость из
v = v9-\-gt.
После проектирования на оси получаем
H* = HoCOSa0; yj, = 0osinao - gt.
21
Задача 6
Тело брошено под углом а0 к горизонту со скоростью г"0 из точки с
координатами хо, уо. Найти зависимость у = у(х), т. е. получить
уравнение траектории (см. рис. 24).
Решение
Из уравнения
Tr=^+%
получим в проекциях на оси
х - Хо = Vo t cosaoT у - уо - v4 sin ао - ^
или, исключая из этих ур^нений время t,
Л •'*--*> •> g(x-x<,)*
cos , 2и"cos2 '
откуда окончательно '
У = У o + (x-xo)ig*o- •
С- *•
Задача 7
Найти максимальную высоту подъема ymtx и наибольшую дальность
полета хтах для тела, брошенного под углом а0 к горизонту со скоростью
и#.
Решение
Максимальной дальности полета хтлх соответствует у = 0 (тело
упало). Но тогда, полагая в уравнении
I / , i РЛХ - -О8
у - Уо + {х - Хо) tga0 -
у - 0, получим
g(XmoK - T0)3 iv ,, О
~2vl cos2 о0 (Хтм ~ х<>>tg a° У° ~~ U'
Решая это уравнение относительно (хШах - х"), найдем затем
И Хтак'
Задача упрощается при у0= 0. Тогда
По сокращении на (Х["ах - х0) и упрощении получим
_ Vl sin 2a0 , _
Лтпах - г
22
Отсюда видно, что при заданных Хо и щ дальность полета будет
наибольшей при а0 = 45°. (При у0^у результат будет другим).
Найдем утах исходя из того соображения, что в наивысшей точке
траектории vy = 0. Тогда из
у - yo = Vot sinao - *2~; 0 = t>0sina0 - gt,
исключая время t, получим
v" sm а"
gvt sm'
У max Уй Vo Sin do " 2 g'
откуда после приведения подобных членов
V% Sin2 а"
У max :
ч
¦Уо-
Очевидно, что при заданных и уй высота утйх будет наибольшей при а0 -
90°.
Задача 8
Два тела брошены одновременно
из некоторой точки. Найти уравне-
ния относительного движения их
(рис. 25).
Решение
Очевидно, что подлежат нахож-
дению
ДЛ1,2 = ДЛ1 - Длз
и
т. е. относительное перемещение и относительная скорость этих тел.
Но из
Afi - Voit -f- ^2~;
Д Ла - Voit -(-
после вычитания (2) из (1) получим
ДЛ1,*=("01 -"о*)А
(1)
(2)
Аналогично из
имеем
Vi - Voi -j- gt И Vi= Vot -f- gt
V\t a = Voi - Ho*.
23
Таким образом, тела, брошенные в поле тяжести одновременно,
движутся до своего падения друг относительно друга
равномерно и прямолинейно, т. е. с 2 = oOTH = const.
4. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
(собственно законы Ньютона)
