Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
сводится к построению треугольника по трем сторонам (или
параллелограмма по диагонали и сторонам) с последующим
определением углов треугольника (или параллелограмма).
На рис. 9 пояснены эти три случая. Первому случаю соответствует
построение параллелограмма или треугольника по изпе- стным с, а и р
с последующим определением а и Ь. Второму случаю - построение по
заданным с, а и р (или с, b и а) с последующим определением b и а
(или а и р). Третьему случаю - построение по известным с, а, Ь с
последующим определением аир.
8
д) решение векторных т реуго ль ников
Решение векторных многоугольников, т. е. гаких, сторонами
которых являются векторы, производится по тем же правилам,
что и решение обычных многоугольников,
В том частном случае, когда получившаяся фигура является
косоугольным треугольником, ее решение сводится к применению
теоремы косинусов и теоремы синусов
(и редко теоремы тангенсов).
Теорема косинусов: квадрат сто-
роны треугольника равен сумме квадра-
тов двух других сторон без удвоенного
произведения этих сторон на косинус
угла между ними.
Так, для случая, изображенного на
рис. 10, имеем:
с2 = а1 -[- b2 - 2ab cos 7;
а1 = с* -f- Ь'2 - 2cb cos а;
b'2 - a2-\-ci~2accos[i. ^
ТеЬрема синусов: стороны треугольника пропорциональны сину-
сам противолежащих этим сторонам углов.
Для случая, изображенного на рис. 10, имеем
a sin а _ a sin а"Ь sin р
b sin р ' с sin 7 с sin 7 '
В том случае, когда треугольник получается прямоугольным,
решение упрощается. Рассматривать этот случай мы не будем.
е) проекции вектора на оси координат
и сопоставление векторному равенству
скалярных равенств
Воспользовавшись сказанным в пункте 4 (случай 1), можно ввести
понятие о проекциях вектора на оси координат.
Пусть на плоскости задан вектор с. Введем в этой же плоскости две
взаимоперпендикулярные оси координат хну, положительные
направления которых указаны стрелками. Тогда Еектор с определится
своей величиной с и углом, который он составляет с какой-либо осью,
например, осью х (рис. 11).
Разложим вектор с на векторы а и Ь, направленные вдоль осей х и у,
и спроектируем их на оси координат. Тогда проекции этих векторов
будут одновременно и проекциями вектора с на оси координат.
Проекция вектора считается положительной, если соответствующая
составляющая вектора направлена в сторону положительного
направления оси, и наоборот. Например, на
9
рис. 11 сх и Су положительны, так как соответствующие им
составляющие вектора с (а или b) направлены в стороны положительных
значений хну.
На рис. 12 проекция сх положительна (так как соответствующая ей
составляющая
а
1
ъ
сх
Рис. 11.
х
а
ь
X
Сх
Рис. 12.
вектора с направлена вдоль положительных значений оси х), а
проекция Су отрицательна (так как соответствующая ей состав-
ляющая вектора с направлена в сторону, противоположную по-
ложительному направлению оси у).
Очевидно, что задание вектора его величиной и углом, который
он составляет с какой-либо осью, совершенно эквивалентно зада-
нию проекций этого вектора на
оси. Действительно, зная с и а,
можно найти сх = с cos а и су -
= с sin а. Верно и обратное: зная
проекции вектора, можно найти
его величину и направление,
а именно
c - Vcx-\-(fy и \ga. = Cy.
Пусть теперь нам задано век-
торное равенство а -\-Ь= с. Изо-
бразим три этих вектора в соот-
ветствии со сказанным в пункте 2.
Проектируя все векторы на оси координат (рис. 13), получим
очевидные равенства
сх = ах-\- Ьх или сх - а cos а-|- 6 cos Р;
Су - ау-\-Ьу или c_y = asina-|-&sinp,
т. е. по проекциям векторов а и Ь легко находятся проекции суммарного
вектора с. Но проекции вектора вполне определяют сам вектор, именно
C-Vcx-^Cy и tgy = ^.
10
Таким образом, всякому векторному равенству вида
а+Ь - с + ... +1 = 7 + /- ... + Л (1)
можно сопоставить на плоскости два скалярных равенства проекций
векторов
о* + Ьх - сх -(- ,.. -(- kx = 1Х -(- fx - hx, (2)
ау -f- by - Су -(- ... -(- ky = ly -(- fy - ... -f- hr (3)
При этом полученная система совершенно эквивалентна исходному
векторному равенству в том смысле, что позволяет определить проекции
интересующего нас вектора по проекциям остальных векторов.
В случае, если векторы лежат не в одной плоскости, то к двум
равенствам проекций на оси. х и у добавляют третье равенство
проекций векторов на ось г, ибо в трехмерном случае вектор
определяется тремя проекциями на оси.
Примечание. Решение векторных равенств, как видно, может быть сделано как с
помощью теорем синусов и косинусов, так и с помощью сопоставления векторному
равенству равенств скалярных. Первый способ удобен в том случае, если в векторном
треугольнике задан один из углов. В случае же, если все углы задаются по отношению к
одному и тому же направлению, удобен второй способ.
Иа чертежах часто замененные векторы помечают волнистой
