Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
ствующие процессы и является более простой и компактной.
Вектор определяется абсолютной величиной (модулем) и направ-
лением и на чертежах изображается направленным отрезком, длина
которого в определенном масштабе характеризует абсолютную вели-
чину вектора. Так, движение какого-либо тела на северо-восток со
скоростью 30 м/сек может быть изображено отрезком, направленным на
северо-восток (и только туда!) и имеющим длину, определяемую
масштабом; например, при масштабе в 1 см 10 м/сек Длина отрезка О А
должна быть 3 см, а при масштабе в 1 см 15 м/сек -
¦-2 см и т. д. (рис. 1). Точка О называется началом вектора, точка А -
его концом.
Принято для отличия векторов от скаляров обозначать в тексте
векторы жирными буквами или над буквами ставить черту или
стрелку. Например: a, v, Е или а, v, Е, или а, и, Ё и т. д.
Рис. 1.
Седер
Юг
5
Абсолютные значения векторов обозначают теми же буквами, но без
всякого выделения их, например: о, о, Е или в виде |а|, | v |, \ Ё\.
Формально векторные равенства имеют тот же вид, что и скалярные,
например, а-4-Ь = с. Стрелки же над буквами означают, что мы имеем
дело с векторами и, значит, операции над ними производятся по
особым правилам, о которых речь будет идти в дальнейшем. В
частности, такая запись означает, что если а -2 и 6 - 3, то с не
обязательно будет равно 5.
а) умножение ее кто р а на скаляр
Умножение вектора а на какой-либо положительный скаляр дает
вектор того же направления, что и вектор а, но в п раз больший по
величине (рис. 2).
д Ь--§-а
d=ia l=na
Рис. 2. Рис. 3.
Умножение вектора а на отрицательный скаляр m дает вектор
противоположного вектору а направления и в \т\ раз больший
по величине (рис. 3).
б) сложение векторов
Сложить несколько векторов - это значит заменить несколько
на самом деле имеющихся векторов таким одним, который был бы
эквивалентен всем заменен-
ным. Результирующий вектор
находят как замыкающую той
ломаной линии, звеньями ко-
торой являются составляю-
щие векторы. Например,
надо сложить изображенные
на рис. 4 векторы о, 6, с
и d. Для этого пристраивают в
любом порядке к концу одного
(предыдущего) вектора на-
чало другого (последующего).
Результирующий вектор / направлен от начала первого слагаемого к
концу последнего. При этом имеет место коммутативность, т. е. то, что
от перестановки составляющих сумма не
6
меняется. Из рисунка видно, например, что =
= b -f- а -)- d -)- с-
В частном случае сложения двух векторов при построении
получается треугольник, две стороны которого - составляющие,
а третья - результирующий вектор.
в) вычитание векторов
Как и в случае скаляров, вычитание векторов есть действие,
обратное сложению. Рассмотрим вычитание на примере двух
векторов.
Пусть надо из век-
тора с вычесть вектор а
и тем найти их разность
Ь = с - а. Чтобы найти
разность двух векторов
сна, надо к вектору с
прибавить вектор (-а), т. е. вектором Ъ = с - а будет вектор,
направленный от начала вектора с к концу вектора (-а) (рис. 5).
На рис. 6 показаны два
вектора а и ], их сумма и0
с = а-\-Ь, разности d =
~b - а и f = a - b.
Рис. 7.
Из рис. 7 видно, что в параллелограмме, построенном на векторах а
и b как на сторонах, одна диагональ (с) имеет смысл суммы, а другая (5)
- разности векторов Ь и а.
7
В процессе изменения вектора могут меняться обе характе-
ристики вектора: и его величина (модуль) и направление. На рис, 8
показан некоторый вектор, изменившийся от п0 до v, а также
Дц - полное изменение Еектора с учетом изменения его по вели-
чине (Дцт) и по направлению (Дп"). Легко видеть, что
Ду - Дит -)- Ди".
г) разложение вектора на составляющие
Часто бывает необходимо заменить один вектор такими не-
сколькими, которые в сумме своей были бы эквивалентны этому
замененному. Такая операция называется разложением вектора
на составляющие векторы. Рассмотрим три случая, когда состав-
ляющих векторов должно получиться два:
1. Известны кроме раскладываемого вектора направления соста-
вляющих. Подлежат нахождению величины составляющих векторов.
Очевидно, геометрически задача сводится к построению треуголь-
ника по одной из сторон и прилежащим к ней двум углам и
нахождению сторон получив-
b шегося треугольника (или
параллелограмма).
I 2. Известен кроме раскла-
I дываемого вектора один из
д- Т I составляющих векторов. Надо
В найти второй составляющий
вектор. Геометрически задача
сводится к построению тре-
угольника по двум сторонам
и углу между ними (или к построению параллелограмма по диа-
гонали, одной из сторон и углу между ними), определению
третьей стороны треугольника и угла, составляемого этой стороной с
одной из заданных сторон (или соответствующих элементов
параллелограмма).
3. Известны кроме раскладываемого вектора величины состав-
ляющих векторов. Надо найти их направления. Геометрически задача
