Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
и v будет лежать в той же
плоскости.
v
Q ^4- до удара
Рис. 66.
(т,+тг)й
-*•- после удара
Рис. 67.
Задача 44
Решение
Очевидно
тхих -{- туич - (тх + mt) и
и
т{У\ , m3vl (mj-pmglu2
~Т~ "1 2 2
76
Считая направление вправо положительным, имеем
m\Vi - rriiva = (mt -)- /Hi) и;
mtv'i i mtv'i (m1 4- mt) tis
2 I 2
Исключая отсюда и, получим
2.
¦Q.
m.vt
откуда
Q:
I"wl (mx + WgHm,", - OTjOg)*
2 2 (m, + m8)*
mxv\ . m^vl (niiVi-m^v^f
Q,
2 1 2 2 (w^ + Wj)
или, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим
Q:
(У[ + 1Тг)г
2 (m, + m8)
Задача 45
Решить предыдущую задачу для случая, когда угол между скоростями
комков до удара равен а (рис. 68).
Решение
Опять
miVi + 'п&ъ = {т\ -+¦ "la) и
(т, + тп^и
тгиг
т,у\ , msi>l ("г, 4- w8) и'
¦Q. И)
Рис. 68.
2 1 2 2
Величину н4 найдем из
век-
торного треугольника по теореме
косинусов. Именно
[(mi mt) u]4 = m\v\ -f- niipl -
- 2miVxm<iPt -cos (180 - a), (2)
тогда при подстановке "3 из (2) в (1) найдем
/л,г/| , m2vз m'jvj 4- m",v'l - 2mlvlm^v2 cos (180° - a) | n
2 ' 'f' ' 2(т1 + т8)
Откуда после преобразования получим
Л mlms [г/( -f- г/f -|- 2vxvs cos (180° - a)J
2 (т,+т8)
Очевидно, при a =180° из этого решения последует решение
предыдущей задачи. При а = 0 (комки легят один за другим)
при a = 90°
1
=
_
т
х
т
г
(
v
t
-
v
s
)
'
2
(
m
t
-
|
-
m
t
)
4
-
"
|
)
Q -
2 (mx 4- mt)
77
Задача 46
Два костяных шарика одинаковых масс налетают друг на друга со
скоростями щ и v2 под углом а и разлетаются после абсолютно
упругого удара со скоростями щ и и2. Найти угол разлета р (т. е. угол
между скоростями щ и ut) (рис. 69).
Решение
Очевидно, что по законам сохранения
I
mv 1 -f- mv% - miti -j-
mu2;
mvi i mvi muf , muj
~T 2~ ~2 r" 2
или после сокращения на т
Vi -j- V2 - U\ -j- U-i,
Щ + = u\ -f u\.
Ho m\vi-\-v2\ и m\ui-\-u2\ суть величины диагоналей векторных
параллелограммов, причем m\vl-\rv<i\=m\ul-\- и2\, а тогда по
теореме косинусов
тг\1'\ -f- v\ - cos (180° - а) | =
= ma | и\ -j- "1 - 2"i"3 cos (180° - p) |
или
vl + vl - 2viv2 cos (180° - a)="i + u2 - 2cos (180° - p). Так как
v\ + v\ = u\ -f- ul,
TO
или
откуда
¦ 2vxv2 cos (180° - a) = - 2щи2 cos (180° - P)
ViV2 COS a = UiU-2 cos p,
VtVs COS a
COS P :
78
Задача' 47
При абсолютно упругом ударе двух шаров, налетавших
под углом а друг к другу, скорость одного из шаров по вели-
чине не изменилась (рис. 69). Найти угол разлета р (массы
шаров разные).
Решение
Очевидно
ttiivj -f тчР4 = m\Ui -f тги?
т1v'i | msvl //г,ы"j , m^u'i
~~2 г ~2^ ~2 I 2~'
Из второго равенства в силу Vi - Ui вытекает, что iis = "2.
По теореме косинусов
m\v\-f m\v\ - 2m1miv1vi cos (180° - a) =
= m\u\ -f- m\u\ - 2m1miu1ui cos (180° - (3),
откуда вытекает
cos a = UiUi cos p
или
cos a = cos p
(В силу t'it'9="iMj).'
Задача 48
В известной демонстрации на законы сохранения импульса
и энергии при ударе (рис. 70) всегда отскакивает столько
шаров, сколько налетает, объяс-
нить это.
Решение
Пусть налетают ki шаров,
двигающихся совместно (слит-
но) со скоростью Г], отско-
чат /?4 шаров со скоростью с4. По законам сохранения
kimv 1 = 64/nt>4;
fej/nof ksmvi
2~~ 2^ '
По сокращении на массу получим
= 68г>г; (*)
AiUJ = ^4U4. (**)
79
\\\\\\>\>\\^
ЬШ.
Рис. 70.
Возводя равенство (*) в квадрат и деля полученное на равенство
<**), получим ki = kiy что и требовалось показать.
Деля (**) на (*), получим i/, = i/s.
* Задача 49
На чашку пружинных весов падает с высоты Н кусок мягкой
глины массой т. Зная, что масса чашки М, а коэффициент жест-
кости пружины k, найти зависимость
скорости системы от величины дефор-
мации пружинки (рис. 71). Удар счи-
тать абсолютно неупругим.
Решение
В первое мгновенье после удара
система обладает энергией
UV
(т + М) а Л
- (т -f- M)gx,
где х отсчитывается от уровня нижнего
края недеформированной пружинки. В
последующие моменты
Г:
(m + М) и1
(т 4- М) gx 4-
kx*
2 '
Так как при движении системы внешних непотенциальных сил нет, то
Г = W,
ИЛИ
(т + М) al
kx?,
(т М) gxo =
(т 4- М) и* . . Л/Г, . kx2
= LJV (m + Af)g*H-Т.
(*)
Скорость "о находится из уравнения сохранения импульса при
ударе глины о чашку
(т + М) "о,
mv-
где о определяется из того, что
Таким образом,
Ио =
., mv
mg И = -.
mv т V2gH
т -f М m -f Л1 *
(**)
80
*о определяется из условия равновесия чашки весов до удара, т. е,
Mg - kx<>
(**
*)
Подставляя (**) и (***) в (*), получим после очевидных преобразований
и - Д1 + Ш
•
Задача 50
Какой минимальной скоростью должен обладать кубик с ребром /
на расстоянии от преграды, чтобы при
%
а
бгр
mg'
Я?'
77777777777777777777777777^7777/ /777^7777
Рис. 72.
ударе о нее он перевернулся? Коэффициент трения о подставку равен
k. Потеря механической энергии при ударе о преграду составляет п-ю
часть от кинетической энергии перед ударом (рис. 72).
