Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
р<С0, если частицы покидают ракету, и р>0, если частицы
присоединяются к ракете.
59
Уравнение Мещерского является следствием закона изменения
количества движения системы тел. Сделаем вывод его.
Пусть некоторое тело (рис. 57, Б) имело количество движения mv и к
нему за малое время At присоединилась некая малая масса Дт, имевшая
до присоединения скорость i\, а значит, и
)ХС
-
*
¦
(}Х>0)
-ч ILC(LL<0)
_5
Э
Рис. 57.
количество движения Дmvv Обозначая количество движения системы
тело - частица буквой р, получим до присоединения Дт
рй = пИ-\- Дmvu
после присоединения
р = (щ Д/л) (у Ду),
так как в результате вполне неупругого удара (присоединения) масса
образовавшегося тела стала равной (m-j-Д/л), а скорость, изменившись
на Ду, стала равной (y-j-Ay)- Так как
р - Po = F- Д7,
то
{т -(- Дт) ( у -(- Ду) - (ту -(- ДтУ1) - FAt,
откуда по раскрытии скобок и пренебрежении членом ДтДу найдем
тДу -(- Дт (у - уО - FAt
или после деления на At получим
та -f р. (У - УО = F.
Так как уi-1) = с есть скорость присоединяющегося тела малой массы
относительно основного тела массы т, то в соответствии со сказанным в
начале этого параграфа
Задача 31
Космический корабль влетает со скоростью v в облако космической
пыли плотностью р8. Чтобы скорость корабля не уменьшилась, включили
двигатель. Какова плотность вытекающих из
Рис. 58.
сопла сечения S\ газов, если скорость их вытекания относительно
корабля равна и, а сечение корабля S2? Пылинки после удара
прилипают к обшивке корабля (рис. 58).
Решение
Возьмем за систему отсчета корабль. Так как корабль ускорения не
имеет, то
или
но
Л =
Аналогичн
о и тогда
откуда
Fi+F,:
=
0
:
0
,
Д
т
'
д
7
;
Р,ДИ
Р^Д/,
м
¦ upiSiti = piSiU2,
Fi = pzS&',
piSiU2 - p
1S4V- --
= 0,
Pl - POT
SjV
s
b',1
,
Задача 32
Реактивная тележка с массой М движется вверх по наклонной
плоскости с углом наклона а и коэффициентом трения k за счет выброса
под углом |3 к поверхности наклонной плоскости струи сжатого
воздуха. Считая скорость воздуха относительно
61
тележки равной с, его массу, выброшенную за время движения, равной
Ат и малой по сравнению с М, определить время, за которое тележка
изменила свою скорость от о0 до v (рис. 59).
Решение
Так как все силы постоянны и М^>Лт, то а = const и потому
J Ма= Mg-f-FTp-f-Q-f-^p>
[ v = o0 + at
или
M~^s-=Mg+Frt + Q+Ft.
И в проекциях на оси tun
М V - v0 _- ^sina_ c cos Pj
0 = - Mg cos a -f- Q - - с sin p.
Исключая Q, получим
M V~tV0 = - Mg sin a - k (Mg cos a -f- с sin -j- - с cos p,
отсюда
^ сДот (cos p - k sin fi) - M (v - v0)
Mg (sin a-f-fecosa)
При решении этой задачи считалось, что скорость тележки и мала
по сравнению с величиной с и, значит, скорость движения струи
воздуха относительно земли и практически совпадает с с.
62
* Задача 33
В тележку весом Р, имеющую форму параллелепипеда с площадью
дна 5 и с отверстием в дне площадью Si, движущуюся по
горизонтальной Поверхности с коэффициентом трения k, льет дождь
плотности р под углом а к вертикали. Найти условие, при котором
скорость тележки постоянна, и найти эту скорость, если скорость
капель дождя равна v (рис. 60), а масса воды в тележке Мв.
Рис. 60.
Решение
Так как ускорение тележки равно нулю, то
P + MBg + FTp + Q + FB + pc = 0, (1)
где ~Р - вес тележки; MBg - вес находящейся в тележке воды;
Q - сила реакции опоры; F^p- сила трения; рс - сила со сто
роны дождя; р. - масса воды, попадающей в тележку в единицу
времени; FB - ^BvB- сила реакции вытекающей из тележки воды, где vB
- скорость воды относительно тележки (причем, очевидно, что
vB~V^gh), а рв - быстрота вытекания воды.
Поскольку
pB = pS1oB; h~ ~jj,
то
^B = tABPB = pSioI = 2MBg^. (2)
Скорость капель дождя относительно тележки
с - v - и
или в проекциях:
Сх - о-sin а - и; Cy~vcosa, (*)
где и - скорость тележки относительно земли.
63
Берем проекции уравнения (1) на вертикаль и горизонталь
P-MBg + Q + Fa
Ч С"
= 0;
(3)
- AQ-}-(xc* = 0. (4)
Исключая Q из (3) и (4), получим с учетом (2) и (*) после
преобразований:
С \ /-л с"п л" и \
ycosa Ы-Я = 0. (5)
(v sin a - и
!М 1
Поскольку Si, S, v, a, и, k, Риц - pSc - величины постоян-
ные, TO Ala = COnst, ЧТО ПРИВОДИТ К [А = [ЛВ.
Но из = |хв следует, что
pScy =Р Siyr2g^l
откуда
М -
Ма~ 2g U
(6)
Необходимое с\ подставляем из (*).
При выполнении условия (6) скорость тележки может оказаться
постоянной. Величину этой скорости находим из уравнения (5)
к
¦ V (sin a - k COS a)
M
,г(1-2§) + 4
Если условие (6) не выполнено, то скорость тележки не может быть
постоянной. Таким образом, масса воды в тележке не должна быть
иной, чем указано в (6).
* Задача 34
Вагон длиной I и массой М движется по рельсам с коэффициентом
трения k. На вагон вертикально вниз сыплется песок
Рис. 61.
с высоты Я. Считая, что вагон двигался во время погрузки недолго, а
