Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
а мешки mv1 и mvt.
-vX
(М+т)иг
(М*т)и,
(,М+т)иг
Рис. 55.
55
При соединении лодок с мешками имеем, пренебрегая импуль-
сом внешних сил:
УИЕ/1 + mvi - (М -f- т) ий
М + mvi = (М-\- т) ыа.
Будем искать не величины скоростей и\ и и определяющие
их направления углы Pi и р2, а проекции скоростей и\х, uiy,
Uix и и$у. Тогда в проекциях на оси получим:
Mvi cos at-{-mv-2 cos ttlx\
MVi sin aj -f-mVi sin a2 - (M -\~m)u+,
Mv.i cos aa -f- mv\ cos = (M-(- m) uix\
Mvz sin aa-f-/?zui sin aj - uiy.
Так как M - mn (по условию), то
ШЦ COS a, -|- ZI2 COS aa
U\
x
~
Ui
y-
U%
x -
U-
iy -
n+1
nvt sin a, + v2 sin a2
И+1
nv2 COS "2 + ill COS a,
n+1
nv2 sin a2 + Vi sin a,
:
Задача 29
Определить скорости лодок после обмена мешками (задача 28),
если сперва был переложен первый мешок, а потом второй.
Решение
Пренебрегая импульсом внешних сил, получим для случая
перекладывания первого мешка во вторую лодку:
(М -j- т) иа -f- mvi = (М -)- 2т) и.,
или в проекциях
(М -f- т) иа cos аа -)- mv\ cos он - (M -)- 2m) uix;
(M -f-m) Vi sin ag-(- mv\ sin он - (M -f- 2m) u3y,
откуда с учетом M = m-n
(п + 1) tis cos os + г", cos <*!
Ui
x
¦
Ui
y
•
n + '2 '
( ti + 1) v2 sin as + vt sin al
n + 2
55
При подсчете скорости первой лодки после перекладывания в нее
мешка со второй надо учесть, что мешок теперь имеет скорость uit
поэтому
Mvi -|- niUi = (М -|- tn) Ui
или
Mvi cos ctj -j- tiiUax = (Лт ~|" tti) ti\x\
Mi'i sin -j- mUiy = (M -j- m) U\y,
откуда
ni'i COS 4- ll"x
Uix ~ й+l ~ '
nvi sin at 4- ийу Uly -
Д+1
•
Читателю предоставляется самому сопоставить и исследовать причины
различных решений этой и предыдущей задач.
* Задача 30
Из орудия, установленного на платформе массой А1, производится
выстрел снарядом массой т, который получает скорость v под углом а к
горизонту. Платформа в результате отдачи приходит в движение.
Сколько времени платформа находилась в движении, если
коэффициент трения о рельсы равен k и М т?
Решение
Очевидно, что М складывается из Д^ и ДД>, где Д/i - время
ускоренного движения платформы в момент выстрела, Дit - время
замедленного движения платформы после выстрела. На чертеже F", с II с,
п - силы взаимодействия снаряда и платформы.
Для первого этапа движения платформы (рис. 56, А)
(Mg-\-F"'Qi-\-FTp^) &t = Ми - Mu0 (*)
или с учетом того, что и" = 0, получим в проекциях на оси ( (Fn. с
cos а - kQi) Mi = Ми;
( - Mg - F"iC sin a -j- Qi = 0.
Исключая Qi, получим
(Fn, c cos a - kMg - kFUi c sin a) Mi = Mu. (1)
Для снаряда с учетом tng<^FCt" получим:
?c, "Mi - mv - mv о
или с учетом и0 - 0
( Fc, п cos aMi - mv cos a; (2)
\ FCf n sinaA/j =mv sina. (3)
67
Учитывая, что F" Z = FZ n = F, получим, подставляя (2) и (3) в (1),
mv cos я - kMgMi - kmv sin a = Mu,
откуда
mv (cos a - k sin a) и
kMg kg'
Для второго этапа движения платформы (рис. 56, Б) найдем (Mg + Qi
+ Fi р.г) Af * = Ми'-Ми, .1* *)
где и' - 0 (конечная скорость платформы).
А
В проекциях на оси будем иметь
( -kQi-&ti = - Mir,
\-Mg + Q2 = О,
58
откуда после исключения Q4 получим
Ы3 =?-.
kg
Тогда
A j д , ¦ I j и , mv (cos а - k sin а) и
Ы=Ч, + Ы, = Ге+ Ше
Окончательно найдем
ДО
mv (cos а - k sin а)
kMg
Замечания. Угол наклона орудия а не равен углу, под которым вылетает снаряд.
Действительно, vc = vCt п + и (см. рис. 56, А).
Здесь и - скорость платформы относительно земли, г>С)П - скорость снаряда
относительно платформы (она и составляет угол а с горизонтом), vc - скорость снаряда
относительно земли. Она составляет угол а-{-Да с горизонтом. Ясно, что Да -* 0 при -тт
-" О, что и имеет место в нашем случае.
М
Задачу можно было бы начинать решать со сложения уравнений (*) и ,**) с
последующим проектированием векторов на оси.
6, ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
Если при движении тела его масса меняется, то производить расчеты
по формуле а - - становится затруднительным. Удобной является
формула Мещерского
ma = F-J- рс,
где F - результирующая всех внешних сил, действующих на тело; р -
изменение массы в единицу времени, обусловленное выбросом или
присоединением частиц к движущемуся телу; р^>0, если частицы
присоединяются к телу (масса тела увеличивается); р<^0, если частицы
покидают тело (и масса тела убывает); с - скорость частиц
относительно тела основной массы (например, ракеты); рс - реактивная
сила. Очевидно, рс направлена в сторону с при р>0 и противоположна с
при р<0 (см. рис. 57, А).
В случае F = const движение тела не будет равнопеременным при
pc=const из-за т -ф. const. Но если за время движения масса тела
существенно не изменилась, то можно считать, что при F = const и рс =
const ускорение тоже постоянно, т. е. а = const, и движение будет
практически равнопеременным, так что можно использовать при
решении задач, где это необходимо, кинематические формулы для
равнопеременного движения. При этом в формуле Мещерского считаем
