Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
47
обязательно направлено при этом вверх из-за О на
правлении а3 ничего сказать нельзя до конца решения задачи. Будем
пока предполагать а3 направленным вниз.
Проектируя равенства (1) - (5) на вертикаль, получим (с учетом
того, что ThA = TB.A = Ti и Т% в = Т в, 2 = Тх в = = Тв,ъ = Т3} а
также с учетом тв = 0)
mig - Ti = miau (6)
Ti - 2Та = 0; (7)
rtiig - Т3 = пца.й (8)
tn3g - Т.2 - - тгаъ; (9)
а.2 - а3-- 2rti (10)
или с учетом Т\ = 2Т3 по (7)
2Г2 ....
* = (И)
<12>
(13)
- 2fl| = aa -а3- (14)
Складывая (12) и (13), получим
= + (15)
Подставляя из (11) в (14), получим
а2 - а3= - 2g + ^-. (16)
Приравнивая правые части (15) и (16), после преобразований
имеем
4)?
J_ I _L I _L
mt ' тг "4" т3
Зная Т2, находим по (11), (12) и (13)
"i=sr(1 - щ , яч V' - (17)
\ тг 1 т3 / \ mt т3
a3 = s(~A^r. 77 *
т
Выясним направление а3. Мы считали его направленным вниз, т. е.
полагали его проекцию а3 положительной. Но для аа>0 необходимо по
(17)
1 4т, , , . т, '>0,
+ 1+.
т1 т3
43
т. е. массы ти пг2 и пг3 должны удовлетворить соотношению
,Пъ ^ 3т1 - 4та ' в противном случае а3
направлено вверх.
* Задача 24
По клину с углом наклона а и массой Л4, движущемуся по
горизонтальной поверхности без трения, скользит вниз брусок
массой т. Считая коэффициент трения между клином и бруском равным
k, найти ускорение клина и ускорение бруска а относительно земли
(рис. 51).
Решение
Силы, действующие на тела, очевидны. Тогда
Mg -j- Qi, з -J- Qi, n -f- FTpl, 2 =
Mao. m§ "I- FTp2, i -}- Qa, i = та.
Или в проекциях на выбранные направления с учетом а0у - 0" Qi, 2
- Q2,1 - Qi, Qi, п - Q2" FTpit 2 - Fтрзд - kQ;
-
Qi sin a kQ! cos a =-Ma0\ (1)
- Mg - Qi cos a Qa - kQi sin a = 0; (2)
-
AQiCOsa-f-QiSina = ma;c; (3)
- mg-\- kQi sina-j-Q! cos a=may. (4)
Очевидно, четырех уравнений для решения задачи недостаточно,
ибо неизвестных пять.
49
Найдем пятое уравнение, связав а0, а и а', где а' - ускорение
бруска относительно клина; имеем
CL (То + & •
Поскольку а0 ЦОлси а' направлено вдоль клина вниз, то в проекциях на
оси имеем
ах =- <r0-)-a'cos а; ау =- а'sin а.
Исключая отсюда величину относительного ускорения а', получим ау =
- (а0 + ах) tga. (5)
При этом а0 > О, ах^> 0 и ау <[0.
Складывая (1) и (3), получим
тах - Ма0 = 0. (6)
Исключая Qi из (1) и (4), получим
, ft sin a 4- cos a ,,
ma" = - mg-{ ; - Ma0
y b 1 Sin a - ft cos a u
ИЛИ
n - _ a -4- k tg а + 1 m
y ^ ^ m tg a - ft ' (
)
Исключая ay из (5) и (7), имеем
Man ft tg a 4- 1 . , . .
S 7Г "fgc,- ft " - + a^ a- (8)
Решая систему (6) и (8), находим
М 1 -f tg2a
й° М 14-tP^a . , 1
. - г tg a
т tg a - я 1
1 -f- tg2 a , m ,
- - +iiT-tga
tg a - ft M
Для нахождения ay подставим в (5) ax = ^д° - из (6), а
потом уже найденное а0. Тогда
ау=-(ао-ах) tga= - flo(l +- )tg"= д* Г-гаТ •
7- - + tg a
/Я tg a - ft 1 &
Ясно, что решение для а0, ах и ау имеет смысл лишь при tga]>?.
Полученные результаты полезно исследовать для случаев М^т,
т<^М, ? = 0, a = 0, а = 90.
Задача 25
С каким ускорением должен ехать вниз~заводной автомобиль
массой т по доске массой М, лежащей на неподвижном клине с углом
наклона я, чтобы доска равномерно скользила вверх по клину?
Коэффициент трения автомобиля о доску равен klt доски о клин - k-i
(рис. 52).
Решение
Имеем в проекциях на оси:
/ -j- mg sin я - Fi = та; (1)
Qi - mg cos о. = 0; (2)
/Т-f--f-Mg sina -/ = 0; (3)
Qi - Qi - Mg cos я = 0, (4)
где / = /i,2 = /2,i - сила движущего трения; Fi = Fli2 = F2yl - тормозящее трение между автомобилем и доской; F2 - тормозящее
трение между доской и клином.
Складывая (1) с (3) и (2) с (4), находим
g (m-j- М) sina -j- F2 - ma; (5)
Qi - g (M -j- m) cos a = 0. (6)
Учитывая, что
Fi:^kiQi,
имеем из (5)
g{m-\- M) sin a -j- k2(,}i = ma.
Подставляя сюда Qb выраженное из (6), получаем g (т -j- М) sin я -j- kig
(М -f- т) cos я=та,
откуда
a - g(l + -jf) (вша + ^совя).
51
Видно, что а не зависит от ku т. е. от трения между автомобилем и
доской в том смысле, что оно может быть любым, но отличным от нуля (в
противном случае / = 0 и доска вверх скользить не сможет).
Задача 26
На краях тележки массой М и длиной / находятся два человека
массами тt и т.2. Коэффициент трения тележки о горизонтальную
поверхность равен k. С каким ускорением а будет двигаться тележка,
если люди пойдут навстречу друг другу с ускорениями аг и а2 по
отношению к земле (рис. 53)?
Утп
V,
Гг
г,г
(Му+ат,1+0тл)
Рис. 53.
Решение
Очевидно, на тела действуют, помимо сил тяжести и реакций опор,
силы трения. При этом на каждого человека и на тележку действуют и
силы движущего (f) и силы тормозящего (F) трения. Имеем сразу в
проекциях на линию движения с учетом F-ip = kQ
fi - F1 = rn1a1;
- "j- F2 - щ2й2\
- fl -f- Л -j- fi - Fq - kQ - Ma.
При этом знак а неизвестен. Складывая эти равенства и учитывая,
что
Qi-f Qi = (M -fmi-j-m,) g,
получаем
