Сборник задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. По закону изменения энергии имеем A= = ^conp + д W- Так как сила тяги отсутствует, TO 0=Лсопр-|-+ if. Учитывая, что \W — изменение полной механической энергии бруска, получим:
0 = FTpl + (^f + mghy{^+mghoy
P
Зная, что т = — , г;0 = 0_и A0 — A = И, получим
о=/у + -?(-?--*//),
откуда _
V=Y 2 (gH-IfL.g).
Задача № 22
Текущая по прямой трубе, наклоненной под углом а к горизонту, жидкость тормозится с постоянным ускорением так, что скорость ее уменьшается от V0 до V за время Дt. Какую
удельную работу совершает поток, если плотность жидкости равна р?
Решение. В соответствии с законом изменения энергии имеем для элемента жидкости
/г>2 — vi \
19 и так как Д/п = рДУ, a AA= AZsina = -^S-J Д?. sin a, откуда
Д A (Vi-Vl v + v \
дк = р^^—+ g--1P Sln aj .
При этом в силу малой сжимаемости жидкости р»const по всему потоку, и торможение происходит практически для всего потока одновременно, в отличие, например, от потока газа, в котором одни части потока могут иметь существенные изменения скорости при практически неизменной скорости в других частях потока.
Задача № 23
Через два маленьких -неподвижных блока, оси которых горизонтальны и находятся на одной высоте на расстоянии 90 см друг от друга, перекинута нить. К концам и к середине нити привязаны три одинаковых груза. Средний груз поднимают так, чтобы нить была горизонтальна, а сам груз находился посередине между блоками, и отпускают, после чего средний груз опускается, а крайние поднимаются. С какой скоростью двигаются грузы в тот момент, когда части нити образуют угол 120°? Трением пренебречь (рис. 21 и 22).
/
Рис. 21.
Решение. Так как трение отсутствует, то полный запас механической энергии системы остается-неизменным. Примем высоту, на которую подвешены блоки, равной нулю. Тогда в начальный момент система обладает только потенциальной энергией
E1 = -mg (a + b). (1)
Когда части нити образуют, угол а, равный 120°, средний груз опустится на высоту А и будет двигаться со скоростью V1. Крайние грузы поднимутся на высоту с и будут двигаться со скоростью v. Полный запас энергии в этом положении
E2 = 2~- + ^~-mg{a-\-b — 2c) — mgh. (2)
20 Так как E1 = E2, то приравнивая (1) и (2), получаем
v* + ^- + 2gc-gh = 0. (3)
Для того чтобы выразить с через I и угол а, нужно учесть, что вследствие нерастяжимости нити расстояние от любого крайнего груза до среднего вдоль нити остается постоянным во все время движения.
—И-Ч-'V
VslnT" J
h находится из треугольника
і і і A==-2- ct^'
Теперь остается связать между собой V и V1. Рассмотрим движение грузов в течение промежутка времени At настолько малого, чтобы можно было пренебречь изменением скорости за этот промежуток (рис. 22).
Когда один из крайних грузов поднимется на высоту vAt, средний опустится на V1At. Учитывая нерастяжимость нити и незначительность времени At, находим
V = V1 COS -jjp . (4)
Подставляя значения с, h и v в (3), находим V1, а затем из (4) находим V: ^1= 126 см/сек; v = 63 см/сек.
Задача № 24
Два костяных шарика одинаковой массы налетают друг на друга со скоростями V1 и V2 под углом а (рис. 23, а) и разлетаются после абсолютно упругого удара со скоростями U1 и и2. Найти угол разлета (?) (рис. 23, б).
Решение. По закону сохранения количества движения и закону сохранения кинетической энергии при ударе имеем
Triv1 -f- mv2 = тих-\-ти 2\ mv\ mv з ти\ ти\
— + -J- = ~2~ + ~2"'
после сокращения на т и на 2 эти формулы примут вид
v1-\-v2 = u1 + u2-, Vi + v\ = Ui + «2.
Рис. 22.
21 Ho m\vx-\-v2\ и /геIK1-J-W21 суть величины диагоналей векторных параллелограммов, которые по закону сохранения количества движения равны друг другу. Применяя теорему косинусов, получим
от2 [v\-^vl-1vxv2cos(180° — я)] = і /га2
[и\ 4- «2 — 2U1U2 cos (180° — ?) ].
mV,
— тиг ,
m (V,*Vz) nWa)
m V,
ти,
И так как г»?+ fb окончательно
Рис. 23. : Ml + «2, ТО 2 "W1K2 cos а :
О U1U2 COS а
cos? — "
: 2М!И2 cos ?, откуда
U1U2
Задача №*25
При абсолютно упругом ударе двух шаров, налетевших под углом а друг на друга, скорость одного из шаров по ве-'личине не изменилась. Под каким углом ? шары разлетелись (рис. 23)?
Решение. Как и в предыдущей задаче,
-> -у ->¦ ->
ITl1V1 -f- ITl2V2 = TTl1U1 -(- TTl2U2]
IvI
Ttl2V2
_ Tn1U21 - ~9 Г
2
т2и2
Из второго равенства, в силу V1-тогда из
вытекает V2==U1. Но
m\v\ -f- Tn2V2 — 2 TTi1Tn2V1V2 cos (180° — a) = == /гаі «і + т2и\ — cIm1Tn2U1U2 cos (180° — ?)
следует
V\V2 cos а = U1U2 cos ?, откуда, в силу V1V2 = U1U2, получаем cos ? = cos а.
Задача № 26
Два глиняных шарика с массами Tn1 и тп2, подвешенные на нитях одинаковой длины /, отклонены на углы и а2 от вертикали и отпущены. На какой угол ? они отклонятся после абсолютно неупругого удара, который происходит в наинизшем положении шаров (рис. 24)?
22 Решение. Очевидно, после удара А = Лсопр -f- Д W, откуда из^за отсутствия сил тяги и сопротивления следует ДЦ7 = 0
