Сборник задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
или {щ-j- tn2) gh-
(OT1 + щ) U2
(кинетическая энергия после
удара превратилась в потенциальную энергию отклонившихся шаров). После сокращения на (Щ + 'Щ) получим gh = ~-, или
glV-cos?)_ 2
необходимо знать и — скорость шаров после удара. Но при ударе
Ztt1V1 — Ztl2Vi = (OT1 -f Ztli) и.
(1)
Следовательно, необходимо знать V1 и Vi, т. е. скорости шаров перед ударом. Очевидно,
и2 о 1 ¦ 2 P
, или 2gI sin2 = -TJ-
LUlUlU
Ttl1V21
: Itlygh1
Для нахождения
ииши
ItliV 2
И -K- = Mtgh1,
Рис. 24.
или
а «а
v\ = 4 lg sin2 -у- и 2
Подставляя значения скоростей* V1, V2 и и в равенство (1), получим /гех2 sin ^Vgl-tnt2 sin Ц- Vgl = ^zn1 -f/re2)2 sin-| Y gl.
Сокращая на 2 Vgl, имеем Tn1 sin -у-— Щ sin -у- —(^1 + + т2) sin -у, откуда легко находим sin ,а затем по тригонометрическим таблицам и р. В окончательное равенство I не входит, а это означает, что искомый угол ? от / не зависит.
Задача № 27
Какую работу надо совершить по удалению тела массой т, покоившегося на поверхности Земли, в бесконечность, если работа против сил сопротивления в атмосфере составляет п-ю часть искомой работы. Вращение Земли не учитывать и считать известным, что потенциальная энергия тела в поле тяжести подсчитывается по формуле Wa = —т^ — ,- где г — расстояние тела до центра Земли; ?— гравитационная постоянная; M и т — массы Земли и тела соответственно.
23 Решение. По закону изменения энергии Л =Aconp+ AW,
или
^)-(2-.,=*).
Так как г бесконечно велико; v — бесконечно мало; f0 — О и r0 = R3,
A = An + i~,
. ImM
откуда A= (1_п)/?з .
Задача № 28
Какую работу надо совершить для равномерного переноса тела массы т, с поверхности Земли на поверхность Луны, на учитывая их вращения и сопротивления атмосферы Земли? , Все необходимые расстояния
считать известными, среднюю л плотность Луны и Земли считать одинаковой и равной р (рис. 25).
Решение. По закону изменения энергии Л = Лсопр + Рис. 25. -J- д W, учитывая отсутствие
сил сопротивления, As=AW. Так как движение тела равномерное, то AWk = O и, ""значит, Д W= Д Wn, а тогда A = Д Wn, т. е. перенос требует совершения работы, численно равной изменению потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли и Луны. Учитывая сказанное в предыдущей задаче, имеем
тМл тМ3 N / тМ3 тМд
I-Bn J ~
и так как 1»/?зи то после очевидных преобразований
получаем приближенное равенство
¦О
т
Так как ^r- ^ -J- и ^ > то с ещ.е более грубым приближением получаем
4
A ^ ^m
Учитывая, что масса шара M = -^-TzpRs, окончательно получим
3
(Rl-R2n).
Задача № 29
Какую силу тяги развивают двигатели космического корабля, имеющего на расстоянии г от центра планеты ускорение
а в направлении, противоположном ускорению свободного ->
падения g у этой планеты? Массы корабля (M) и планеты (т) известны (рис. 26).
3
Решение. По второму закону Ньютона Fr -f- Frp = та или в проекции на прямую корабль — центр планеты Ft — Z7rp =
с, тМ г= та или Ft — откуда
FT = m (а + ттг)-
Задача № 30
Грузик, подвешенный на нити, вращается в горизонтальной плоскости так, что расстояние от точки подвеса до плоскости, в которой происходит вращение, равно А. Найти частоту вращения / груза, считая ее неизменной (рис. 27).
Решение. Вращение вызывается суммой всех сил, действующих на грузик. Очевидно, что Fn = man. Но Fn = mgiga и ал = 4тс2/2/?, тогда mgtga = m4n2f2R\ но так как P = Atga, то ? = 4тс/2А, откуда
^Vi-
Задача № 31
Две звезды с массами тх и т% движутся в космосе так, что расстояние I между их центрами остается неизменным. Определить характер их движения (рис. 28).
25- Решение. Так как между звездами действуют силы взаимного притяжения, то каждая из них должна двигаться ускоренно. По условию расстояние между ними неизменно, поэтому ускорения звезд должны быть перпендикулярными их скоростям, следовательно, каждая из них должна двигаться по окружности, причем обе окружности имеют общий центр (центр масс системы). Найдем его положение в периоды обращения звезд вокруг центра масс.
По второму закону Ньютона Fni = таПі и Fni = та„2. Так как по третьему закону Ньютона Fn1 = Fn2, то тхаПі = т%аПг
4я2 Г
или, учитывая, ЧТО Cln = -^2-,
4іг'Гі _ 4л2г3 TtIxT1 Ttitfi
= или —TT = -Z
Ix I2 Ix I2
Чтобы звезды были все время на одинаковом друг от друга расстоянии I, проходящем через центр масс, необходимо, чтобы Tx=T2, тогда т1г1 = т%г2 и поскольку тх-\-г2 = 1, то
.. _ TTl2I _ Ttl1I
иг,
1-І --- П I о - --.-- .
1 Tn1 -+- m2 " Tn1-Y Tni
Так как на обе звезды внешние силы не действуют, то общее их количество движения не меняется. Это означает, что совместно с их вращением вокруг Рис. 28. центра масс они могут двигать-
ся в пространстве еще и так, что центр масс перемещается с постоянной скоростью.
Найдем периоды обращения звезд вокруг центра масс. ДЛЯ ПерВОЙ, Например, ЗВеЗДЫ ИМееМ Fni = Itl1Cln, или
V^ =Wj^tt-, откуда Т=2к}/~. Учитывая, что T1 =
= П0ЛУчим7 = 2*/і(ОТі + т2) • 0тсюда видно' что
