Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения, которым эти функции удовлетворяют, решения коих, однако,
выражаются через малоизученные сфероидальные функции. Поэтому
продвинуться в таком направлении в данном вопросе в настоящее время не
удается. Как было показано в четвертом параграфе, в случае отсутствия
затухания имеется область пространственных масштабов, не зависящая от
краевых условий па левом конце слоя (напомним, что волна падает на слой
среды справа). В этой области средняя интенсивность остается постоянной
(с точностью до экспоненциально малых членов), а высшие моменты
экспоненциально нарастают. Если толщина слоя L стремится к оо, то область
экспоненциального роста флуктуаций интенсивности занимает все
полупространство, расположенное слева от границы, на которую падает
волна. Естественно изучить влияние затухания волны на флуктуации
интенсивности в этом предельном случае. Можно ожидать, что задача в этом
случае должна существенно упроститься. Однако, так как исходная задача
является краевой задачей, необходимо переформулировать задачу таким
образом, чтобы исключить условие на левой границе. Это можно сделать,
например, следующим образом. Прежде всего сдвинем систему координат
вправо так, чтобы слой флуктуирующей среды занимал бы пространственную
область - L ^ х 0. Введем функции
а (х) = А (х) ехр {ух}, Ь (х) - В (х) ехр {-ух}, (7.1)
231
где А (х) и В (х) - функции, введенные в § 1 (см. (1.4)). Тогда волновое
поле внутрн слоя среды имеет структуру
U (х) = а (х) ехр {- ixx} + Ъ (х) ехр {ixx}, (7.2)
а функции а (х) и Ъ (х) удовлетворяют, согласно (1.5), (1.9), си-
стеме уравнений
da Ы Ъ (х) . . , ,;v"n
-jz = Уа - - -туг- [а + йе*** ,
1 ^ (7-3)
db , IK 8 (х) t , V '
¦37=-ТЬ + --|if + Ы
с краевыми условиями
a(0) = l, b(-L)= 0. (7.4)
(Здесь считаем интенсивность падающей волны равной единице.) Волновое
поле в области х 0 имеет вид
U (х) = ехр {ух - ixx} + Rl ехр {-ух + ixx), (7.5)
где комплексный коэффициент отражения волны от слоя Rl определяется через
решение уравнения (1.14):
B^l=2i{x + iy)R+^^\\-\-R{x)f, R(- L)- '0, (7.6)
с помощью равенства
R (0) = Rl. (7.7)
При этом функция R (х) связана с функциями а (х) и Ъ (х) согласно
равенству (1.13):
Д (х) = ^ехр {2ixx}, (7.8)
и, следовательно,
Ъ (0) = Rl. (7.9)
Таким образом, если мы знаем решение уравнения (7.6) и, следовательно,
величину Rl, то можно переформулировать задачу (7.3), (7.4) как задачу
Коши, описываемую системой уравнений (7.3) с начальными условиями а( 0) =
1, Ъ( 0) = Rl- Однако решение ее уже не удовлетворяет условию
причинности, так как комплексная величина Rl является функционалом поля ё
(х) во всей области
- 0, т. е. функции а (х), Ъ (х) являются функционалами
поля ё (х) во всей области пространства, занимаемого слоем флуктуирующей
среды. В этом случае необходимо вычислить вариационные производные
функций а (х) и Ъ (х) по полю ё (х). Для них имеем
б а (х) б а (х)
бе (х') бе (х')
66 (х) _______ бЬ (х)
да (х)
6Rl дИь бе. (х') *
- "0
вё
йё (х') бе (:к')
"в (7Л°)
db (х) bRL
6rL d<RL б!' (*') '
-- =0 бе
232
Введем функции и(х) = да (x)I3Rl, v (х) = db (x)/3Rl¦ Эти функции
удовлетворяют, очевидно, системе уравнений
= + ve^-% и (0) - 0,
-?¦ = ~ yv + -j- [ие-*1** + v], v (0) = 1,
и решение ее удовлетворяет условию причинности. Отметим, что функции а
(х), b (х), и (х), v (х) связаны равенством
а (х) v (х) - Ъ {х) и (х) = 1, (7.12)
являющимся интегралом для систем (7.3), (7.11). Теперь остается
вычислить величину bRJbe. (х'). Для этого проварьируем уравнение (7.6) по
ё (х') при х х'\
? §$={21 ,я+iT)+ыw[1+R W1} Ш ¦ (7'13)
Начальным условием к (7.13) является равенство
Ж] = + R(x')f,
ое (.г ) 2 | е |
п, следовательно, решение уравнения (7.13) при х = 0 имеет вид 6RL
бе (х')
о
= г' irfVr f1 + -Я(я')]2ехр{^ 2i(x + iy) + т (1 + Д(?)) J.
(7.14)
Величину б/?ь/бё удается связать с волновым полем U (х) внутри слоя
среды. Чтобы получить такую связь, перепишем первое из уравнений (7.3)
следующим образом:
= -Ь (ж)], я(0) = 1; (7.15)
решение его можно записать как
а (х) = ехр ^ё(|)[1 + R (?)]} . (7.16)
о
