Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
A = -yBe** - il2 (t) (W, + W2),
В = yAe~'mt - igj (i)(FFx + FF2).
Рассмотрим теперь плотность вероятностей для W1 (t), W2{t), т. e.
функцию
Pt (Wlt W2) = <6 (t) - FFJ6 (PT2 (*) - W2)>, (6.10)
где усреднение производится по ансамблю реализаций функции
z (I). Дифференцируя (6.10) по t и используя два первых уравнения (6.9),
получаем
4r=2*ikw'p'-24'ikw'p'-
~1 (wr + wr)<[El W л +~ w,)6(W2(t) - 1/^)).
(6.11)
Перейдем теперь к приближению дельта-коррелированного процесса для
функций (t), i2 (t), т. e. положим
(t)h (t + т)> = 2ст2б (t) exp {-2iQt},
<g2 (0?i it + T)> = 2a28 (t),
<?2 №?2 (* + Ф = 2ст2б (t) exp {2iQ,t},
328
где
Отметим, что мы можем действовать с комплексными случайными функциями
(t) полностью аналогично тому, как мы рабо-
тали с действительными функциями.
Если интенсивность флуктуаций z (t), т. е. параметр о2, достаточно
мала, а также малы величины yt, характеризующие затухание мод, то мы
имеем медленные стохастические процессы на фоне быстрых осциллирующих (с
частотой Q) процессов. Для исключения таких быстрых процессов надо
усреднить, как об этом говорилось неоднократно выше, по периоду
осцилляций. При этом очевидно, что надо считать == 0-
Итак,
усредним по времени (6.11) и воспользуемся формулой Фурутцу- Новикова для
расщепления среднего значения в правой части (6.11). В результате
получаем уравнение
- 2о2 (-А- + <АВ б № (t) - WJ б (W2
(t) - W*)\ (6.15)
где черта обозначает усреднение по времени. В силу того, что
(6.13)
Учитывая теперь равенства, вытекающие из (6.9):
6A(t) _ бB(t)
получаем уравнение вида
дР
dt
~2°*{ik+Tk){W' + w')P
'F2 = 2AB = (x2x* ~ xtxyf = - IWyWi, (6.16)
229
можно записать уравнение (6.15) в замкнутой форме УЭФ:
+ 2°2 (лгГ + w*w* {nw^ + ~W7) pt' (6-17)
с начальным условием
P0(Wlt W2) = 8(W1- W°)6 (W2 - W2°). (6.18)
Из уравнения (6.17) вытекают уравнения для моментов величин Wlt W2. Так,
для средних значений интенсивностей мод имеем уравнения
<^> = -2Ъ <И^> + 2а2 {<^> + <Ж2>}, <^2> = 27з <Ж2> + 2а2
{<И^> + <Ж2>}.
Эти уравнения называются уравнениями переноса и соответствуют обычной
линейиой феноменологической теории (см., например, [94]).
Для вторых моментов получаем систему
<^i2> = 4 (а2 - Yi)<Wl> + 8а2 <W,W2>,
<VT2> = 4 (а2 + y2)<Wly + 8а2 <n^2>, (6.20)
<W1Way = -2 (Yl - y.KW.W,} + 4а2<(^ + Ид2>.
Отметим, что система уравнений (6.19) была получена ранее в работе
[95].
Пусть теперь системе уравнений (6.1) поставлены краевые ус-* ловия:
^ (0) - рх2 (0) = vlt х2 (Т) - yXl (Т) = v2. (6.21)
В этом случае для решения задачи не будет выполняться условие
причинности, и надо воспользоваться теорией инвариантного погружения или
методом, аналогичным использованному в задаче
о распространении волн в одномерной среде. Отметим, что вопрос о
поведении средних значений решения задачи (6.1) рассматривался в пятой
главе.
Рассмотрим две вспомогательные задачи, описываемые уравнениями (6.1)
с краевыми условиями:
1) 4Х) (0) - р4х) (0) = о, 2) х(r) (0) - р42> (0) = 1,
4Х> (Т) - ух" (Т) = 1; 42) (Т) - y42) (Т) = 0.
Тогда очевидно, что сумма таких решений xt = v2x\1'> + будет давать
искомое решение задачи, а каждую из этих задач можно рассмотреть методом,
изложенным в предыдущих параграфах.
230
Отметим, что уравнения линейной теории переноса, которые для
данной задачи имеют вид уравнений --- Wi = -^Wi = D (W i - W^),
рассматривались в работах [96], где было показано, что линейная теория
переноса работает лишь в случае DT <^ 1. В работах [84] производилось
рассмотрение линейной теории переноса для волны, распространяющейся в
одномерной случайно-неоднородной среде, рассмотренной в третьем
параграфе. Сопоставление точных выражений с выражениями, полученными па
основе линейной теории переноса, показывает, что последняя является
асимптотической теорией, справедливой лишь при выполнении условия DL 1,
когда можно проводить расчеты по теории возмущений.
§ 7. О влиянии затухания волны на флуктуации интенсивности
Как указывалось выше, в случае наличия затухания волны при
распространении в случайно-неоднородной среде флуктуации интенсивности
волнового поля в слое флуктуирующей среды описываются формулами (3.1),
(3.2) и т. п. (здесь и далее считаем, что к0 = к = к?)- Поэтому для
нахождения статистических характеристик интенсивности волны надо знать
одноточечную плотность вероятностей и плотность вероятностей перехода для
дву-
Л
мерного марковского процесса (и (х), ^d?u(?)). Легко написать
о
