Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
случае флуктуаций параметров в виде телеграфного процесса (см. уравнение
(5.22)) наличием перед W дополнитель-
* "'•ч
но го оператора v/(v + 2 L (и, ф)). Однако если мы поступим далее так же,
как и в предыдущем разделе, т. е. рассмотрим только первую гармонику
разложения W0 в ряде Фурье по Ф, пренебрегая остальными гармониками, и, в
силу малости параметра у,
пренебрежем оператором у ^ в правой части (5.46), то, очевидно,
придем к уравнению, совпадающему с уравнением (5.25), с параметром
P = -Sr(1 + 4xa**>' <5-47>
где I = 1/v - радиус корреляции функции ё (х). Таким образом,
стационарное распределение вероятностей для и в этом случае также будет
описываться формулой (5.26).
Следует подчеркнуть некоторое различие между уравнениями
(5.10), (5.15'), (5.37). Формально уравнение (5.10) (или его частный
случай (5.11)), как и (5.15'), (5.37), является точным в случае, если ё
(х) - дельта-коррелированная случайная функция. Однако такие функции
реально неосуществимы и всегда являются аппроксимацией реальных случайных
функций с конечным радиусом корреляции. При исследовании законности такой
аппроксимации возникают ограничения на уравнение (5.10). В то же время
телеграфный или обобщенный телеграфный процессы физически осуществимы с
гораздо большей точностью, так как для них
226
следует требовать лишь узости реальных "фронтов", а не малостй радиусов
корреляции по сравнению с другими масштабами задачи. В этом смысле
уравнение (5.15') или (5.37), в отличие от (5.10), можно считать точным.
Как видно из уравнений (5.10), (5.15'), (5.37), предположение
о характере закона распределения вероятностей для ё (х) существенно
сказывается на виде уравнения для плотности вероятностей комплексного
коэффициента отражения, и эти распределения, вообще говоря, могут сильно
отличаться друг от друга.
Имеются, однако, и некоторые общие свойства этих распределений.
Прежде всего, это существование стационарного распределения вероятностей
при наличии затухания. Во-вторых, при выполнении условий (5.33) вид
стационарного распределения вероятностей для модуля коэффициента
отражения во всех рассмотренных случаях оказывается одинаковым и
совпадает с распределением, впервые полученным в [86]. Вполне возможно,
что этот закон распределения (при указанных ограничениях) не зависит от
вида распределения для ё(х).
§ 6. Двухпроводная линия и уравнения переноса
Близкой задачей как к рассмотренной в данной, так и в предыдущей
главе является задача о распространении и взаимодействии двух встречных
мод. Исходная система уравнений такова:
11 = (ш1 - у1)х1 + iz (t)x2,
,g 1.
12 = - (ш2 - у2)х2 - iz [t)xx,
где C0j - собственные частоты распространяющихся мод, yt - их
коэффициенты затухания, a z (t) - функция, которую будем считать
гауссовской случайной функцией с корреляционной функцией вида
<Z(t+T)z(t)> = S(|T |).
(6.2)
К системе уравнений (6.1) надо задать начальные или краевые условия.
Рассмотрим сначала задачу Коши, т. е. пусть при t = = 0
xi (0) = хъ х2 (0) = х\.
(6.3)
Нас будет интересовать вопрос о поведении интенсивности каждой
моды Wx = | хх |а, W2 = ! х2 |2. Для этих функций из (6.1)
получаем замкнутую систему четырех уравнений:
= -2y1W1 + iz (t)4, Wa = 2y2W2 + iz (t)W, t = -iQ<S> - yV -
2iz (f)(TFi + W2)x
(6.4)
Ф = -iQW + ?Ф,
где
у = y2 - уг, Q = <% + Ю2, f (t) = x2x* - x2xv Ф (t) - x2x* +
xtxl-
8* 227
Вместо функций гР и Ф введем две функции A(t) и B(t) согласно равенствам
Т = Ae~iQi + BeiQt, Ф = Ae~iw - BeiQt. (6.5)
Тогда система (6.4) перепишется в виде
W, = - 27,11'! + iz (I) {Ae~iat + Beiai],
W2 = 2у2И'а -I- iz (t) {Ae~iQl + Bew}, 6
A= - уВе*ш _ iZ (f) eiat (П/j -[- Wi),
В = yAe~*at - iz (t) e-iQi (Ц\ + \\\).
Введем теперь вместо случайного процесса z (t) две комплексные случайные
функции
(t) =Z (t)e~(tm), l2 {t) = z (t)e^ (6.7)
с комплексными "корреляционными" функциями
<?i (t + т)5х (ф = В (т) exp { -iQт - 2iQi),
<?i it + т)12 (ф = В (т) exp { -iQt}, (6.8)
<g2 (t + т)12 (ф = В (т) exp {tQx + 2i,Q,t}.
Тогда система (6.6) примет вид
W1 = -2y1W1 + i {?, (t)A + l2 (t)B},
lV2 = 2y2W2 + i {I, (t)A + l2 (t)B}, (6.9)
