Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
геометрооптическому приближению.
223
Следует подчеркнуть, что условие (5.33) допускает любое соотношение
между радиусом корреляции I = l/2v и длиной волны 2пЫ.
5.3. Обобщенный телеграфный процесс. Рассмотрим теперь другую модель
флуктуаций ё (ж) с конечным радиусом корреляции, также допускающую точное
решение задачи. А именно, будем считать функцию ё (ж) обобщенным
телеграфным процессом (см. гл. 1, 2):
ё (х) = я"(0,Ж), (5.34)
где совокупность случайных чисел а0, аи . . ., af!, . . . статистически
независима с распределением р (а) (<а> = 0, <я2> = ц2), а п (0, х) -
целочисленный случайный процесс, введенный выше.
Для такой модели флуктуаций е (х) корреляционная функция также имеет
экспоненциальный вид:
<ё (х)ё (х')У = jLi2 ехр {-v | х - х' |},
с радиусом корреляции I = 1/v.
Чтобы получить замкнутое уравнение для плотности вероятностей Wx (и,
ф), нам нужно, как следует из (5.8), вычислить величину (ё (х) Ф (и,
ф, х)у. Для вычисления такой корреляции вос-
пользуемся формулой (2.4.15'), справедливой для обобщенного телеграфного
процесса ё (х) и произвольного функционала от него Fx [ё (Ж)] (Т х):
<ё (х) Fx [ё (*)]> = (aFx [S]> -f
X
+ v ^dx' ехр {- v [х - х')} <аРх[хя; ё (:?)]>. (5.35) о
Здесь
Рх \х, а; 8 (Ж)] = Fx [а0 (х - х) + ё (х) 0 (х - .г)],
^х[я] = Рх [0, а; 0],
а случайная величина а считается статистически независимой от процесса ё
(х) с распределением р (а). Таким образом, функционал Рх совпадает с
функционалом Fx при х < х', а для х >х' следует заменить процесс ё (х) на
случайную величину а, не зависящую от ё (ж). При этом, естественно,
должно выполняться условие непрерывности для Рх при х = х'.
Следовательно, уравнение (5.8) для обобщенного телеграфного процесса
ё (х) примет вид
dW ~
~^г+ 2L(u, q>)Wx - aM (и, <р) <дФ [и, ф, х; a]>?rVK +
X
+ avM (и, ф) ^ dx' ехр {- v (х - х )} <аФ [и, ф, х, х\ й]> (5.37)
(a=~wr) '
324
где функционал Ф, согласно (5.5), удовлетворяет уравнению
-1- 2L (и, ф) Ф = ааМ (и, ср) Ф (х^>х') (5.38)
с начальным условием
Ф|*=*-' = Ф(и, ф, х'). (5.39)
Решение уравнения (5.38) легко написать в общем виде. Для этого
представим функцию Ф следующим образом:
ф = ехр {-2 (х - x')L (и, ф)}Ф. (5.40)
С учетом того факта, что оператор в (5.40) является оператором
сдвига по и и ср, для функции Ф получаем уравнение
= ааМ (и -f- 2у (х - х), ф - 2и (х - х)) Ф, (5.41)
решение которого с условием (5.39) таково:
X - X'
Ф = ехр {аа ^ d\ М (и -f- 2у\, ф - 2к?)} Ф (и, ф, х). (5.42)
о
В уравнении (5.37) фигурирует, однако, не сама функция Ф, а средняя
величина <(аФ>, связанная с распределением вероятностей случайной
величины а. Это приводит к тому, что в уравнении
(5.37) появляется оператор
Я-X'
ехр |аа ^ d% М (и + 2у\, ср - 2^)}^> W(и, ср), (5.43)
О
зависящий от конкретного вида распределения р (а). Уравнение
(5.37) при этом оказывается замкнутым уравнением. Если же, однако,
интенсивность флуктуаций а достаточно мала, то можно ограничиться первыми
членами разложения экспоненты под знаком усреднения. В первом порядке
малости по ц2 - выражение (5.43) принимает вид
х-х'
ац2 ? d% Й (u + 2у1, ф - 2*1) Wx- (и, ф) (5.43')
о
и функция <(аФ> будет определяться выражением <аФ [w, ф, х, х\ а]> =
сс-х'
= а^2ехр|-2 (х - x')L(u, cp)j ^ M(u-\-2y\, ф-2x%)WX'(u, ф) .
о
(5.44)
225
Таким образом, уравнение (5.37) с правой частью вида (5.44) является
замкнутым интегро-дифференциальным уравнением, существенно отличающимся
от уравнения (5.15'), справедливого для флуктуаций ё (х) в виде
телеграфного процесса.
При v -> оо уравнение (5.37) также переходит в УЭФ:
6W
~ + 2L (и, ф) Wx = DAP (и, ф) Wx (и, ф), (5.45)
где
Дальнейший анализ уравнения (5.37) можно провести аналогично случаю
телеграфного процесса. Рассмотрим стационарное решение, т. е. перейдем к
пределу при х-^~оо. В этом случае уравнение (5.37) с правой частью (5.44)
можно переписать в виде операторного уравнения:
L(u, ф )W (и, ф) =
= ^ М (и, ф) -4----------- М (и, ф) -4-------- W (и, ф). (5.46)
^ v + 2L(h, ф) v + ^L(i(, ф)
Уравнение (5.46) отличается от стационарного уравнения для функции W в
