Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
J + (W2- W.*
+
>]}•
(5.23)
Уравнение (5.23), так же как и нестационарное уравнение, не является
замкнутым, поскольку помимо W0 в него входят функции Wx + W_2, W2 + W-2.
Сделаем теперь два упрощающих предположения относительно стационарного
распределения:
1. I W, ± I, I W2± W-2 I < w0.
В этом случае в уравнении (5.23) можно оставить лишь W0 (и); в
результате получаем
W0{u) = -^shu
(v + ^)2 + x2]_1 Х х (y+y4r)(2chu+shuiL-)w<>- (5-24)
Отметим, что уравнение (5.24) соответствует переходу х -> оо в (5.21).
2.
du
^2 chu -j' s^u
<< v
2 chu VF0 + shu
dW0
du
т. e. в правой части (5.24) можно пренебречь оператором у-^~ ¦ В этом
случае в уравнении (5.24) можно заменить оператор '(¦v^yd/^+K* на число
v/(v2 + x2). т°гда уравнение (5.24) примет вид
¦ W,
о (и) = -j- sh и ^2 ch и -f- sh и j
W0
(5.25)
P = ^(-2 + ^) = -5r(1 + 4x2Z2),
221
где I l/2v - радиус корреляции функции ?; (а.'). Уравнение (5.25)
совпадает с уравнением для стационарной плотности вероятностей (5.3).
Нормируемое па единицу решение этого уравнения таково: TF0 (и) =
^ ехр {- Р (cth и - 1)}, (5.26)
и совпадает с распределением (5.4). Функция (5.26) имеет макси-^
_______________________________
мум при и - ип = ~ Inf 8 I'M г fr|. Условие 2 после подстановки
в него решения (5.26) принимает вид
Если v/y < 3, то условие (5.27) нарушается в большой области значений и.
Поэтому необходимо, чтобы выполнялось условие
У < v. (5.28)
В этом случае (5.27) сводится к условию
sh2 и > = sh2 и*.
- v *
Отметим, что (5.28) является з^словием малости затухания волны па
масштабах порядка радиуса корреляции и является естественным требованием
задачи. В противном случае волна из-за большого затухания не почувствует
слоистую структуру среды.
Таким образом, решение (5.26) заведомо непригодно в области малых и,
соответствующих значениям коэффициента отражения, по модулю близким к
единице. Если выполняется условие W0 (u^) W0 (и0), то область и <; не
является существенной. Так как на участке 0 < и < и* функция W0 (и)
монотонно возрастает, то условие Wn (и%) W0 (и0) можно заменить более
удобным:
sh 2щ <<; sli 2и0 = (3.
Это приводит к неравенству |3 (v/y - y/v) 1, или к условию |5v/y 1.
Подставляя (5 из (5.25), находим окончательно, что
предположение 2 справедливо в существенной области по и при условии
а2 << (х2 4- у2), или ol <; | ё |2 ^'1 + (at = |i2), (5.29)
а распределение вероятностей (5.26) правильно описывает интервал
\R\<e-*=yri
Теперь перейдем к выяснению условий, при которых справедливо
предположение 1, считая, что (5.28), (5.29) выполняются. Для этого
следует изучить уравнение для W1. В правой его части
222
стоит общий коэффициент а2 (х2 4- v2), который, согласно (5.29), мал.
Поэтому в правой части уравнения для Wx можно оставить лишь W0,
пренебрегая амплитудами других (малых) гармоник. В результате получаем
уравнение
-(5.30)
При наличии затухания выполняется условие W (0, ср) = 0, так как
значения R, равные по модулю единице, не могут появиться ни в одной из
реализаций. Поэтому уравнение (5.30) следует решать с граничным условием
Wx (0) = 0. Это решение имеет вид
Wl (и) = - -8-(-vcg.х)7 jj du' ехр {i л- и'} . (5.31)
Если выполняются условия у х, а2.<^; -(х2 + v2), то функция
W0 (и - it')/sh (и - и') является плавной по сравнению с
экспоненциальным множителем, и из (5.31) можно в этом случае получить
II , (и) = - а2?-- - . (5.31/)
' ' 8у. (v - гл) sh и ' '
Теперь можно выяснить условия, при которых в уравнении (5.23)
| (и) | =-----fL=, < 2 ch W0 + sh и= Р W0 (и).
п Y v2 хг sh и 1 du
sh и и' '
- Эти условия имеют вид
%
При выполнении (5.32) автоматически выполняется и условие х
V
а2 << -(х2 -f v2), использованное при переходе от (5.31) к (5.31').
Кроме того, условие (5.29) также выполняется, если справедливо
(5.32).
Таким образом, если
7<CV> Og <С| е |3 |/1 -[-v2/x2, (5.33)
то распределение вероятностей для и описывается формулой (5.2В).
Отметим, что распределение вида (5.26), но с другими параметрами было
получено и проанализировано в работе [86] как стационарное решение УЭФ.
Полученное выше распределение (5.26)
переходит в него при v ^>х, когда [3^8 ~^v ¦¦ | е р. В противопо-
о2*2
ложном случае крупномасштабных неоднородностей v х, о 8 у у? 8у | ё |2
р = -- =--------- и не зависит от длины волны, что соответствует
VCg
