Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 87

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 135 >> Следующая

= р'2 ехр {-2v | ху - х2 |},
а радиус корреляции I = l/2v.
Как было показано во второй главе, для произвольного функционала от
телеграфного процесса Fx [? (Ж)], где х х, имеет место формула
дифференцирования корреляции
(-^Г -j- 2vj а (*) Fx [? (*)]> = <3 (х) ~FX [g (*)j> . (5.13)
Обозначим функцию <? (;г)Ф (и, ф, ж)> в правой части (5.8) через a'F.x
(и, ф). Дифференцируя Wx (и, ф) по х и используя (5.13) и (5.5), получаем
уравнение
{^- + 2vj Wx (и, ф) = - 2L (и, ф) (и, ф) +
4 М (и, ф) <?2 (х) Ф (и, ф, х)). (5.14)
218
OVV
дх
2L (и, ф) Wx -
¦ М (и, ф)
Учитывая теперь, что для телеграфного процесса (5.12) |2 (а;) = I,
получаем замкнутую систему уравнений первого порядка по х для функций Wx
и ?х:
dW ,
-f 2L (и, ф) Wx = а2 М (и, ф) ТЛ.,
(5.15)
-jf -т- 2 [v + L (и, ф)] = М {и, ф) И7,,
с начальными условиями: при х = О
W0 (и, ф) = Ф (и, ф, 0), (и, <р) = 0.
Отметим, что систему уравнений (5.15) можно записать и виде одного и 11
те гро-диффе рем циа л ыю то уравнения для функции И7*:
^Ч~ 2Ь(и,ц>) W х - _
Я
= а-1/ (и, ф) ^ dx' ехр {- 2 (х - х ) [v + L (U, ср)]} Л/ (и, ф) Wx> (и,
ф). о
(5.15')
Легко вычислить предел в случае v ->¦ оо (т. е. / = l/2v ->- 0). Отсюда
следует, что при этих условиях имеет место УЭФ: dWv
--¦ -j- 2L (и, ф) Ц'х = DM2 (и, ф) Wx (и, ф), (5.16)
где
D = ~ = а21 = -pj-1.
2 v | к |2
Рассмотрим систему уравнений (5.15). Будем искать решение в виде
рядов Фурье по ф:
оо оо
Wx (и, Ф) = 2 W'n (и, X) eimt, Ч\. (и, ф) = 2 (и, X) ein|f . (5.17)
-оо - оо
Тогда для коэффициентов Фурье Wn, легко получить систему
уравнений
dW { д \
2(т-аг-НЖп =
= i {2nVFn + [ п ch и -f -i- sh u| Тп_! +
+ [и ch и - -^-shuj Tn+1|,
2(v + y-|r -гхи)ч7п= (5.18)
= 1 [ZnWn + [n ch и + -±- sh и ] HVi +
dx
Wn
dx
nchu---------sh и j
H7n+ij
219
Нас будет интересовать плотность вероятностей для | R |,
Я
связанная с функцией I dq> W х (и, ф) = 2лИ/0 (и, х). Для нее
получаем уравнение
dW0
\дх
¦f 2y
dW а .а2 д , /ш,
-г1- - 1 -г~ sh м ( т _i
ди 2 ди '
¦то,
(5.19)
где функции Y+j описываются системой
•=F1
дх
2(v + Y-|r±ix)YT1:
chu -4---~ shu Wo + chu--f--- sh и
1 ди OU
(5.20)
Система уравнений (5.19), (5.20) не замкнута, так как помимо W0, Чт+,
в нее входят функции W±1, W±2.
Сделаем теперь упрощающее предположение: | И , |,
I ^±2 I I W0 I, т. е. влияние гармоник 11 ,. W±2 на динамику
Wо не существенно. В этом случае система уравнений (5.19), (5.20)
становится замкнутой:
bW" , 2у.т"
дх
, ди
+ 2 (v 4 V ir ± <•*) Ч'Т1 = + 4 [c.hB + -^вЪ "] Wa-
Отметим, что эта система эквивалентна интегро-дифференциально-му
уравнению для функции W0 (и, х)\
д WB
дх
о SW0
2Ч~дГ
X
. -JrshwSехР {- 2(^ - (v + Т ^г-)} х
о
X cos 2% (х - х') ?ch и -f- Wo (и, x'), (5.21)
которое формально совпадает с уравнением (5.15'), проинтегрированным по ф
при дополнительном предположении
<if (и, ф) ехр {2 (х - х')к-^}Й (и, ф) Wх- (и, ф)> =
= <М (и, ф) ехр |2 (х - х) к М (и, ф)) W0(u, х)
(здесь угловыми скобками обозначена операция интегрирования по ф). Это
предположение соответствует обычно используемому в таких задачах методу
усреднения по быстро меняющимся величинам (см., например, предыдущие
параграфы).
220
При наличии затухания (у Ф 0) решение уравнения (5.15') при
х -> оо дает стационарное распределение
Woe (и, ф) = W (и, ф).
Уравнение для стационарного распределения легко получить из (5.15'),
совершив замену переменной интегрирования х' -> х - х' и устремив х к оо:
L (и, ф) W (и, ф) = - М (и, ф)
1
v + L (и, Ф)
М (и, ф) W (и, ф). (5.22)
Соответствующее стационарное уравнение для пулевой фурье-гармоникп
принимает вид
ИМ"):
а - shu •fi'lv -г 7
8V
: [2 ch и Wo + sh U f (W, + ---L sh и -4r (Wt+ W_2)
du
du
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed